高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.4 幂函数学案 新人教B版必修第二册-新人教B版高一第二册数学学案

4．4 幂函数考点学习目标核心素养幂函数的概念了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式数学抽象幂函数的性质结合幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图像，掌握它们的性质数学运算幂函数性质的应用能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小数学运算 问题导学预习教材 P33－P36 的内容，思考以下问题：1．幂函数是如何定义的？2．幂函数的解析式具有什么特点？3．常见幂函数的图像是什么？它具有哪些性质？1．一般地，函数 y＝xα称为幂函数，其中 α 为常数．■名师点拨 幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．2．幂函数的图像与性质(1)五个常见幂函数的图像(2)五个常见幂函数的性质：函数性质 y＝xy＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定义域R[0 ， ＋∞ ) RR( － ∞ ， 0 )∪(0 ， ＋∞ ) 值域R[0，＋∞)(0 ， ＋∞ ) R(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇非奇非偶偶奇奇单调性R 上增[0，＋∞) (－∞，0)上R 上增(－∞，0)上上增减[0，＋∞)上增减(0，＋∞)上减公共点(1 ， 1 ) 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数 y＝x－是幂函数．( )(2)函数 y＝2－x是幂函数．( )(3)幂函数的图像都不过第二、四象限．( )答案：(1)√ (2)× (3)× 下列所给函数中，是幂函数的是( )A．y＝－x3 B．y＝3xC．y＝x D．y＝x2－1解析：选 C.幂函数的形式为 y＝xα，只有 C 符合． 下列函数中，在(－∞，0)上是增函数的是( )A．y＝x3 B．y＝x2C．y＝ D．y＝x解析：选 A.结合函数图像，易知 y＝x3在(－∞，0)上为增函数，故选 A. 已知幂函数 f(x)的图像经过点(2，)，则 f(4)＝________．解析：设 f(x)＝xα，所以 α＝，所以 f(4)＝4＝2.答案：2幂函数的概念 函数 f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3 是幂函数，且当 x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求 f(x)的解析式．【解】 根据幂函数定义得，m2－m－1＝1，解得 m＝2 或 m＝－1，当 m＝2 时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，当 m＝－1 时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．所以 f(x)的解析式为 f(x)＝x3.(1)本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1＝1”这一等量关系，导致解题受阻．(2)幂函数 y＝xα(α∈R)中，α 为常数，系数为 1，底数为单一的 x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错． 已知幂函数 f(x)＝xα的图像经...