http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e12.com.cn备课资料知识拓展利用体积法求简单多面体的内切球半径 求简单多面体的内切球的半径常用的方法是作轴截面，把空间问题转化为多边形内切圆问题，如果简单多面体是不规则的，要作轴截面就很困难，因此这种方法用起来很繁琐.我们可以利用另一种既简便又快速的方法——体积法，即把多面体进行分割，且分割成以内切球球心为公共顶点的若干个棱锥，这些棱锥的高都是内切球的半径，然后根据这些棱锥的体积之和等于多面体体积，从而求出半径.现举例说明如下：图 8 如图 8，在三棱锥 S—ABC 中，SA=AB=AC=1，∠BAC=90°，SA⊥面 ABC，求三棱锥S—ABC的内切球的半径.解：设内切球的球心为 O，球的半径为 r,则 VS—ABC=VO—SAB+VO—SAC+VO—SBC+VO—ABC.又∵VO—SAB、VO—SAC、VO—SBC、VO—ABC的高都是 r，SA⊥面 ABC，V∴S—ABC=VO—SAB+VO—SAC+VO—SBC+VO—ABC=r31(S SAB△+S SAC△+S SBC△+S ABC△)=21131)112124311211121(31r.r=∴633331.点评：若一个简单 n 面体有内切球，且简单 n 面体的各个面的面积分别为 S1,S2,S3,…,Sn，简单n 面体的体积为 V，则此简单 n 面体的内切球的半径为 r=nSSSSV3213.用体积法求简单多面体的内切球半径的优点是不用作轴截面，对空间想象能力要求高，但并不是意味着遇到这种类型的问题都用体积法，体积法的缺点是计算量较大，而且要考虑多面体是否是规则的，因此在解题时要注意选择方法.（设计者：赵冠名）中鸿智业信息技术有限公司
