高中数学7.备课资料素材（1.2.3　解决有关测量角度的问题）新人教版必修5

http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e12.com.cn备课资料1.半角定理在△ABC 中,三个角的半角的正切和三边之间有如下的关系:pcpbpapapA))()((12tan,pcpbpapbpB))()((12tan,pcpbpapcpC))()((12tan,其中 p= 21 （a+b+c).证明:2cos2sin2tanAAA ,因为 sin 2A ＞0,cos 2A ＞0,所以bccbacbabccbabcacbAA4))((4)()21(212cos12sin22222.因为 p = 21 (a+b+c),所以 a -b+c =2(p-b),a+b-c=2(p -c).所以bccpbpA))((2sin.而bcacbAA2)1(212cos12cos222bcappbcacbacbbcacb)(4))((4)(22所以pcpbpapapappcpbpbcappbccpbpAAA))()((1)())(()())((2cos2sin2tan.所以pcpbpapapA))()((12tan.中鸿智业信息技术有限公司 http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e12.com.cn同理,可得pcpbpapbpB))()((12tan,pcpbpapcpC))()((12tan.从上面的证明过程中,我们可以得到用三角形的三条边表示半角的正弦和半角的余弦的公式:bcappAbccpbpA)(2cos,))((2sin.同理可得.)(2cos)(2cos,))((2sin,))((2sinabcppCacbppBabbpapCaccpapB2.用三角形的三边表示它的内角平分线设在△ABC 中(如右图),已知三边 a、b、c,如果三个角 A、B 和 C 的平分线分别是 tA、tB和 tC，那么，用已知边表示三条内角平分线的公式是：)(2apbcpcbta;)(2bpacpcatb;)(2cpabpbatc.证明：设 AD 是角 A 的平分线，并且 BD=x，DC=y,那么，在△ADC 中，由余弦定理，得tA2=b2+y2-2bycosC,根据三角形内角平分线的性质，得yxbc ,所以yyxbbc.因为 x+y=a,所以yabbc.所以cbaby.中鸿智业信息技术有限公司 http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e12.com.cn将②代入①,得Ccbabbcbabbtacos)(2)(222=]cos)(22[)(22222Ccbaabccbcbb.因为bccbaC2cos222,所以]2)(22[)(222222222abcbacbabccbacbbta=))(()()2()(22222acbcbacbbcabccbcbbc =),()(4)(22)(22apbcpcbappcbbc所以)(2apbcpcbta.同理,可得)(2,)(2cpabpbatbpacpcatcb.这就是已知三边求三角形内角平分线的公式.3.用三角形的三边来表示它的外接圆的半径设在△ABC 中,已知三边 a、b、c,那么用已知边表示外接圆半径 R 的公式是))()((cpbpappabcR.证明: 因为AbcSAaRsin21,sin2,所以bcSA2sin.所以))()((4sin2cpbpappabcSabcAaR.中鸿智业信息技术有限公司