1.1～1.2 正弦定理、余弦定理要点解读 一、正弦定理 1．正弦定理及其证明 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinsinabcABC． 课本利用三角形中的正弦函数的定义和向量的数量积两种方法证明了正弦定理，同学们可以思考一下有没有别的方法呢？答案是肯定的．证明如下： 当ABC△为锐角三角形时（如图所示），过点 A 作单位向量 i 垂直于 AB ，因为ACABBC�，所以()ACABBCABBC�····iiii， cos(90)0cos(90)bAaB °°，即sinsinbAaB，得sinsinabAB． 当ABC△为钝角或直角三角形时也可类似证明． 2．正弦定理常见变形公式 （1）sinsinsinsinbAcAaBC，sinsinsinsincBaBbCA，sinsinsinsinaCbCcAB； （2）: :sin:sin:sina b cABC； （3）2 sin2 sinaRAbRB，，2 sincRC（ R 为ABC△外接圆的半径）； （4）sin2aAR，sin2bBR，sin2cCR； （5）sinsinsinsinsinsinabcabcABCABC． 注：这些常见的变形公式应熟练掌握，在具体解题时，可根据不同的题设条件选择不同的变形公式． 3．正弦定理的运用 利用正弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角． 二、余弦定理 1．余弦定理及表达式 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍． 2222cosabcbcA； 2222cosbcacaB； 2222coscababC． 注：余弦定理反映了 abcABC， ， ， ， ，元素间的动态结构，揭示了任意三角形的边、角关系． 2．余弦定理的另一种表达形式 222cos2bcaAbc； 222cos2cabBac； 222cos2abcCab；用心 爱心 专心 注：若已知三边求角时，应用余弦定理的此表达形式简单易行． 3．余弦定理的运用 利用余弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题： （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 注：这两类问题在有解时都只有一个解． 4．勾股定理和余弦定理的区别与联系 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．由余弦定理及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．因此，勾股定理可以看作是余弦定理的特殊情况，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．用心 爱心 专心
