高中数学《圆与方程中的数学思想》文本素材3 湘教版必修3

圆与方程中的数学思想圆与方程是高中数学解析几何的一个基础内容，在历年的高考中占有一席之地。本文就圆与方程中的数学思想在解题中的运用展开讨论，供同学们参考。1．函数与方程思想函数与方程思想在圆与方程中应用最广泛,求圆的方程，求直线与圆的交点，求圆与圆的交点等等都要运用到函数与方程的数学思想.例 1 设圆满足：①截 y 轴所得弦长为 2；②被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3：1．在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线 1：x－2y=0 的距离最小的圆的方程．分析：本题给出了二个条件，我们需要把二个条件转化为代数式，然后联立方程。解:设圆的圆心坐标为 P（a，b），半径为 r，则点 P 到 x 轴、y 轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆 P 截 x 轴所得劣弧的圆心角为 90°，于是圆 P 截 x 轴所得的弦长为r2 ，故222br又圆 P 截 y 轴所得的弦长为 2，所以有122ar从而得1222 ab．点 P（a，b）到直线 x－2y=0 的距离为5|2|bad．所以，abbabad44|2|5222212)(24222222abbaba，当且仅当 a=b 时上式取等号，此时152 d，从而 d 取得最小值．由此有1222abba．解此方程组得11ba或11ba．由222br知22 r，故所求圆的方程是2)1()1(22yx，或2)1()1(22yx．点评:本题是一道较为复杂的综合题,既要用到函数的最值求法,又要解方程组.一般情况下同学们对于复杂的方程组缺乏信心,因些解方程组时一定要先找好突破口,以免花费太多时间.2．对称思想圆既是中心对称图形,又是轴对称图形,对称的数学思想在圆中有着淋漓尽致的体现.解对称问题要把握对称的实质,结合几何图形来解题.例 2 已知( , )P t t ，t R ，点 M 是圆221(1)4xy上的动点，点 N 是圆221(2)4xy上的动点，则||||PNPM的最大值是（ ）A．51B．5C．1D． 2用心 爱心 专心1分析：如果把 M，N 看成圆上的动点，设出坐标，则本题变得特别复杂。所以，我们要考虑圆的对称性，把点到圆上的点的距离转化为点到圆心的距离来求解，减少未知量解:由几何知识可知（三角形的性质）,|PN|,|PM|要取到最值,必过圆心.不妨设两圆的圆心分别为 A,B,因此,原题转化为在直线 yx 上找一个点 P,使||||PAPB最大.由例 1 可知,只需作点 B 关于直线 yx 的对称点 B’,显然 B’的坐标是(1,0),从而原点即为要求的点.故||||PNP...