高中数学平面曲线平移伸缩变换的技巧

平面内曲线平移伸缩变换的技巧江苏省靖江高级中学 蔡正伟在高中教材中，平移变换是在向量中提出来的，而伸缩变化是在三角函数介绍的，因为有了初中的“左加右减，上加下减”的结论，在教学过程中，很多同学往往会简单的套用这个结论，导致得到和正确答案完全相反的结论，笔者在近几年教学中，总结了一套简单且容易操作的处理方法，供同学们学习时参考。曲线平移和放缩都可以依据以下结论处理：所有的平移和放缩都是 x，y 在变，且变化的规律与习惯相反。一、平移规律中的“习惯”就是在坐标平面内特征，即左右平移是 x 在变化，且向左变小，向右变大；上下平移是 y 在变，且向下变小，向上变大。下面举例说明。例 1 将函数的图象向左平移 2 个单位，向上平移 1 个单位。求平移后的函数解析式。解：向左平移 2 个单位，“习惯”是越左越小，而变化的结果将原来解析式中的 x 变成；向上平移 1 个单位，“习惯”是越上越大，而变化的结果是将原来解析式中的 y 变成。所以平移后的函数解析式是。例 2 求向右平移个单位，向下平移 2 个单位后的得到的函数解析式。解：依据以上规律，就是将原来的解析式中的 x 变成，y 变成，所以平移后的函数解析式是，化简后得。例 1 也可以用“左加右减，上加下减”来处理，但如果不能从本质上弄清问题，就会出现错误，如例 2 还是套用“左加右减，上加下减”来处理，得到的结论就可能是。二、放缩课本在三角函数这一章中给出了放缩的规律，笔者发现这个规律可以和平移规律整合在一起。具体的规律是：纵坐标不变横坐标变为原来的 ω 倍就是将原来解析式中的 x 变成；横坐标不变纵坐标变为原来的 A 倍就是将原来解析式中的 y 变成。例 3 （ 2000 年 理 科 全 国 卷 ）经 过 怎 样 的 平 移 和 伸 缩 得 到用心 爱心 专心。解：。（变化一）（1）y 变成了 2y，故横坐标不变，纵坐标变为原来的；（2）x 变成了 2x，故纵坐标不变，横坐标变为原来的； （3）x 变成了，故将图象右移个单位，需要将写成；（4）y 变成了，故将图象上移个单位。变换一和变换二的差别就先放缩后平移还是平移后放缩，变换一的第（3）步比较容易错，如果理解“都是 x、y 在变，变化规律与习惯相反”的规律后，每一步只需抓住变的实质，就可以轻松处理类似问题。另外，这个结论对于平面内的曲线平移都是适用的。有兴趣的读者不防一试。用心 爱心 专心