巧用单调性处理一类无理函数的值域 梁承勇 （重庆市武隆中学 408500）[本文发表在数学教学通讯 2008 年 9 期上]在中学数学教学中函数的值域问题一直以来都是一个重要的问题
对型如其中（c 为常数）的无理函数的值域问题还没有一个统一的处理
本文从利用单调性角度谈谈这类无理函数的值域的处理，期望得到一个统一的方法
结论 1 若，在区间上单调递增
在区间上单调递减
证明： 由若则即 解出结合函数定义域得单调递增区间单调递减区间
同理可以证明结论 2 若 ，的单调递增区间为单调递减区间为结论 3 若时，在上是增函数而在上也是增函数在定义域上是增函数
若时，在上是减函数用心 爱心 专心而在上也是减函数 在定义域上是减函数
（证明略）下面以具体的例子说明这类无理函数值域的处理
例 1 求函数的值域
解：先作变换，由可令则函数化为 （）由结论 1 知当，即时是增函数此时， 由结论 2 知当即时是减函数此时 所以的值域为例2求函数的值域
分析：将函数转化为形式由换元令则函数化为（）解：由结论 1 知，当即时用心 爱心 专心函数为是增函数， 由结论 2 知当即时函数为是减函数， 综上：的值域为说明：在转化时也可以化为类似处理
例 3 求函数的值域
分析：注意到前后两个根式都有故可以作代换，变为前面结论的形式
解：将函数变为（也可以变为）由换元令函数化为由结合定义域有所以由结论 1 知，当即函数是增函数， 用心 爱心 专心由结论 2 知当时函数是减函数， 综上：的值域为例4求函数的值域
解：函数的定义域为函数在上单调递减在上也是单调递减
由与结论 3 类似知在上是减函数
所以 即值域为例5求函数的值域
解：先换元令由原函数知得函数（）由在上是单调递增的在上也是单调递增的在是增函数所以 即值域为例 6 求函数的值域
解：换元令结合原函数有得函数（）用心 爱心 专心由在上是单调递减的在上
