高中数学教育学报2007年第二期

第 l 6 卷第 2 期 20o7 年 5 月 数 学 教 育 学 报 J O UR NA L O F M AT HE MAT I CS E D UC AT IO N V o1．1 6，No．2 M ay , 20 0 7 微积分和无穷小量的哲学思考 匡继 昌 ( 湖南师范大学 数学系，湖南 长沙4 10081 ) 摘 要 ：微积 分的神秘面纱早 已揭开 ，然而与此有关 的对 无穷小量 的认识 却经 历了几千 年漫长而 曲折 的过程 ．从哲学的高 度来认识，它来源 于对 客观事物 无穷变化过程 的不 同认 识阶段和 理想化 的抽 象． 关键词 ：无穷小量 ：微积分 ；潜无限 ；实无 限 中图分类号 ：G40-02文献标识码 ：A文章编 号 ：1004- 9894 ( 2007 ) 02-000 1- 03 1 微积分的神秘性难以消除吗 时速度，还有关键的第三步 (用今天的记号)： 传统 的观 念认为牛 顿一 莱布尼 茨创立 的微积分是 建立 在完全不合逻 辑的基础上 的．例 如 ，文 【1】就 引用 马克思在 “数 学手 稿 ”[2l中 的论断 ，认为 牛顿一莱布尼茨在推 导导函 数的过程 中，一开始就把变量 的增量当作微分，然后对中间 出现的一些项，采取 “用魔术变掉 ”和 “暴力镇压 ”的方法 ， 通过错误的数 学途 径得 到了正确 的结 果，从而使微积分带上 了神秘的色彩，造成了 “神秘性”．众所周知 ，经过 l 9 世纪 的分析批 判运动 ，微积 分 的神秘 面纱早 已揭 开，进而 才有 20 世 纪现代数学 的巨大进展 ．但 是最近 几年所发表的多篇 相关论文 ，例 如文【3—5】等 ，仍然认 为 “微积分 比宗教还神 秘 ”．“微 积分不严密 性难 以消 除”，“微积 分长期 的不 严密 性是必然 的”[3】：“微积分 的广 泛运用和扩展是在 其概念不 清 ，甚至整个体系缺乏逻辑基础情况下发生 的”，并称 无穷 小量是被任意解读 的没 有名份的“私生子 ”，“数学界出现 了 信仰危机 ，，1 】：“微分学 的揭秘 问题 已经到 了非解 决不可 的 时候 了”【 ．上述观点都涉及到数学与哲学的一系列根本性 的问题 ，本文在认真研究 了上述论点与论据之后，本着学术 争鸣 的精神，提出了与上述 观点完全 不同的看 法． 2 010 之谜孳生了数学中的全部神奇怪论吗 文【4】在论述牛顿求 瞬时速度 的思想时， 以 自由落体运 动 为例 ： 自 由落 体 走过 的距 离 ...