高中数学校本教辅教师版：正余弦定理的综合应用素材（新人教版必修5）

第五课时：正、余弦定理的综合应用知识梳理1.正弦定理： 2sinsinsinabcRABC，其中 R 为 ABC外接圆的半径。利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）2.余弦定理：(1)余弦定理：2222cosabcbcA； 2222cosbacacB； 2222coscababC.在余弦定理中，令 C=90°，这时 cosC=0，所以 c2=a2+b2.（2）余弦定理的推论：222cosA2bcabc； 222cos2acbBac； 222cos2abcCab.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.3.三角形面积公式：1sin2ABCSabC= 1sin2 acB = 1sin2 bcA4.三角形的性质：①.A+B+C= ,222ABC  sin()sinABC,cos()cosABC,sincos22ABC ②.在 ABC中, ab＞c , ab＜c ; A＞B sin A ＞sin B , A＞B cosA＜cosB, a ＞b A＞B ③.若 ABC为锐角，则 AB＞2 ,B+C ＞2 ,A+C ＞2 ; 22ab＞2c，22bc＞2a，2a＋2c＞2b5.(1)若给出A,ba，那么解的个数为：(A 为锐角)，几何作图时，存在多种情况．如已知 a、b 及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：(1)A 为锐角用心 爱心 专心babaabaB1BACACABCB2 a=bsin A bsin Ab,则一解若 a≤b，则无解典例剖析题型一 三角形多解情况的判断例 1.根据下列条件，判断 ABC有没有解？若有解，判断解的个数．（1）5a  ，4b  ，120A  ，求 B ；（2）5a  ，4b  ，90A  ，求 B ；（3）10 6a ，20 3b ，45A  ，求 B ； （4）20 2a ，20 3b ，45A  ，求 B ；（5）4a  ，10 33b ，60A  ，求 B ．解：（1） 120A  ，∴ B 只能是锐角，因此仅有一解．（2） 90A  ，∴ B 只能是锐角，因此仅有一解．（3）由于 A 为锐角，而210 620 32，即Abasin，因此仅有一解90B  ．（4）由于 A 为锐角，而220 320 220 310 62，即sinbabA，因此有两解，易解得60120B 或．（5）由于...