做数列综合题的几个处理策略山东省利津县第一中学 胡彬 257400 我们知道每年的高考数学试题中都有一道数列综合题，一般是以综合比较高的难题面目出现的。处理综合题当然是要讲究策略的，下面就根据我多年的教学体会谈谈几个做数列综合题的几个处理策略。策略一：数列求和要学会先“和”再分的策略例题 1.已知数列中各项为： 12、1122、111222、……、 …… （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前 n 项之和 Sn . 分析：这里所说的“和”是指由数列的前几项来获得数列通项公式的过程。先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。解：（1）记：A = , 则 A=为整数 ∴= A (A+1) 得证 .(2) 点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成” 两个相邻正数的积，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。策略二：求数列通项公式要学会“取倒”的策略；证明数列不等式要学会放缩的策略例题 2.已知数列满足，),2(2111Nnnaaannnn．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前 项和；（Ⅲ）设，数列的前 项和为．求证：对任意的，．分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。用心 爱心 专心个解：（Ⅰ），，又，数列是首项为 ，公比为的等比数列． ， 即. （Ⅱ）．． （Ⅲ），当时，则．， 对任意的，． 点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列的通项，第三问不等式的证明要用到放缩的办法。策略三：获取递推关系要学会利用函数的策略；数列求和要学会裂项的策略例题 3.已知为锐角，且，函数，数列{an}的首项. ⑴ 求函数的表达式； ⑵ 求证：；⑶ 求证： 分析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。解：⑴ 又 为锐角 ∴ ∴ 用心 爱心 专心 ⑵ ∴都大于 0 ∴ ∴ ⑶ ∴ ∴ , , 又 ∴ ∴ ∴点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式的证明更具有一般性。策略四：求数列通项公式要学会“构造”的策略；落实数列要学会观察连续三项间关系的策略例题 4.已知数列满足（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，证明：是等差数列；分析：本例（1）...
