第六章圆第1课时圆的基本性质1．(2019·盐城模拟)如图,⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E,若DE＝OB,∠AOC＝84°,则∠E等于(B)A．42°B．28°C．21°D．20°2．(2019·聊城)如图,⊙O中,弦BC与半径OA相交于点D,连接AB、OC．若∠A＝60°,∠ADC＝85°,则∠C的度数是(D)A．25°B．27.5°C．30°D．35°3．(改编题)如图,A,B,C是⊙O上的三个点,若∠BAC＝30°,BC＝2,则⊙O半径为(A)A．2B．2C．4D．4．(2019·繁昌县一模)如图,AB是半圆⊙O的直径,△ABC的两边AC,BC分别交半圆于D,E,且E为BC的中点,已知∠BAC＝50°,则∠C＝(C)A．55°B．60°C．65°D．70°5．(2019·安顺)已知⊙O的直径CD＝10cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB＝8cm,则AC的长为(C)A．2cmB．4cmC．2cm或4cmD．2cm或4cm6．如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠A＝56°.以BC为直径的⊙O交AB于点D,E是⊙O上一点,且＝,连接OE.过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F的度数为(C)A．92°B．108°C．112°D．124°7．(改编题)如图,点A,B是⊙O上两点,AB＝10,点P是⊙O上的动点(P与A,B不重合)连接AP,PB,过点O分别作OE⊥AP于点E,OF⊥PB于点F,则下列结论正确的是(C)A．EF＝2.5B．EF＝C．EF＝5D．EF的长度随P点的变化而变化8．(2019·北京)如图,点A,B,C,D在⊙O上,＝,∠CAD＝30°,∠ACD＝50°,则∠ADB＝__70__°.9．(2019·无锡)如图,点A,B,C都在⊙O上,OC⊥OB,点A在劣弧BC上,且OA＝AB,则∠ABC＝__15__°.10．(2019·定远县一模)如图,AB是半圆的直径,∠BAC＝20°,D是的中点,则∠DAC的度数是__35°__.11．(原创题)如图,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC与BD相交于点E,F在AC上,AB＝AD,∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC,下列结论：①线段AC为⊙O的直径；②CD⊥DF；③BC＝2CD；④∠AFB＝∠BCD．其中正确的有__②③④__(只填序号)．12．(原创题)如图,⊙O的直径为10cm,点C为半圆AB上任意一点,CD平分∠ACB交⊙O于点D,求AD的长．解：∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB＝∠ADB＝90°,而CD平分∠ACB交⊙O于点D,∴∠ACD＝∠DCB＝45°,∴∠ABD＝∠DAB＝45°,∴△ADB为等腰直角三角形,∴AD＝AB,又∵AB＝10cm,∴AD＝5(cm)．13．(2019·利辛县一模)如图,AB是半圆的直径,O是圆心,C是半圆上一点,D是弧AC中点,OD交弦AC于E,连接BE,若AC＝8,DE＝2.求：(1)求半圆的半径长；(2)BE的长度．解：(1)设圆的半径为r,∵D是弧AC中点,∴OD⊥AC,AE＝AC＝4,在Rt△AOE中,OA2＝OE2＋AE2,即r2＝(r－2)2＋42,解得r＝5,即圆的半径为5；(2)连接BC,∵AO＝OB,AE＝EC,∴BC＝2OE＝6,∵AB是半圆的直径,∴∠ACB＝90°,∴BE＝＝2.14．如图,A,B,C为⊙O上的点,PC过O点,交⊙O于D点,PD＝OD,若OB⊥AC于E点．(1)判断A是否是PB的中点,并说明理由；(2)若⊙O半径为8,试求BC的长．解：(1)A是PB的中点,理由：连接AD,∵CD是⊙O的直径,∴AD⊥AC,∵OB⊥AC,∴AD∥OB,∵PD＝OD,∴PA＝AB,∴A是PB的中点；(2)∵AD∥OB,∴△APD∽△BPO,∴＝＝,∵⊙O半径为8,∴OB＝8,∴AD＝4,∴AC＝＝4,∵OB⊥AC,∴AE＝CE＝2,∵OE＝AD＝2,∴BE＝6,∴BC＝＝4.15．如图,△ABC内接于⊙O,AB＝AC,CO的延长线交AB于点D．(1)求证：AO平分∠BAC；(2)若BC＝6,sin∠BAC＝,求AC和CD的长．(1)证明：如图,延长AO交BC于H,连接OB,∵AC＝AB,OC＝OB,∴A,O在线段CB的中垂线上,∴OA⊥CB,∵AC＝AB,∴AO平分∠BAC；(2)解：如图,过点D作DK⊥AO于K.∵由(1)知OC＝OB,AO⊥BC,BC＝6,∴BH＝CH＝BC＝3,∠COH＝∠BOC,∵∠BAC＝∠BOC,∴∠COH＝∠BAC,在Rt△COH中,∵∠OHC＝90°,sin∠COH＝,CH＝3,∴sin∠COH＝＝,∴CO＝AO＝5,∴OH＝＝＝4,∴AH＝AO＋OH＝4＋5＝9,tan∠COH＝tan∠DOK＝,在Rt△ACH中,∠AHC＝90°,AH＝9,CH＝3,∴tan∠CAH＝＝,AC＝＝＝3①,由(1)知∠CAH＝∠BAH,∴tan∠CAH＝tan∠BAH＝,设DK＝3a,在Rt△ADK中,tan∠BAH＝,在Rt△DOK中,tan∠DOK＝,OK＝4a,OD＝5a,AK＝9a,∴AO＝OK＋AK＝13a＝5,∴a＝,OD＝5a＝,CD＝OC＋OD＝5＋＝②.∴AC＝3,CD＝.
