圆锥曲线的综合问题突破策略VIP免费

第1页共17页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共17页圆锥曲线综合问题之重点突破类型1：关于弦的中点以及弦的垂直平分线问题的策略这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差法或者韦达定理产生弦AB的中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形（即|DA|=|DB|）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等.【题1】椭圆C：的两个焦点为、，点在椭圆C上，且，，.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线过圆的圆心，交椭圆C于、两点，且、关于点对称，求直线的方程.【题1】解：(1)∴…………1分又∴∴…………3分故…………4分∴椭圆C的方程为…………5分(2)圆的方程可化为：，故圆心所求直线方程为…………7分联立椭圆方程，消去，得…………9分 、关于对称)0(12222babyax1F2FP211FFPF341PF3142PFl02422yxyxMABABMl6221PFPFa3a202122221PFPFFFcFF252215c4222cab14922yx5)1()2(22yx)1,2(M1)2(xkyy0273636)1836()94(2222kkxkkxkABM第2页共17页第1页共17页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共17页∴…………12分∴…………14分[点评]点关于点对称的问题，实质是“中点弦”问题，还可以用“点差法”，请同学们尝试体会，并且比较两种解法的特点.【题2】知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点.设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.【题2】解：设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根.记中点则的垂直平分线NG的方程为令得点G横坐标的取值范围为[点评]注意AB中点M以及两直线的垂直关系求出“线段AB的垂直平分线”.【题3】设、分别是椭圆的左、右焦点.29491822221kkkxx98k:89250lxy第3页共17页第2页共17页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共17页（1）若P是该椭圆上的一个动点，求⃗PF1⋅⃗PF2的最大值和最小值；（2）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.【题3】解：（1）易知a=√5,b=2,c=1,∴F1=(−1,0),F2(1,0)，设P（x，y），则⃗PF1⋅⃗PF2=(−1−x,−y)⋅(1−x,−y)=x2+y2−1=x2+4−45x2−1=15x2+3 x∈[−√5,√5]，∴x当=0，即点P为椭圆短轴端点时，⃗PF1⋅⃗PF2有最小值3；当x=±√5，即点P为椭圆长轴端点时，⃗PF1⋅⃗PF2有最大值4[点评]本小题体现“消元”的思想和“函数”的思想，注意定义域.（2）假设存在满足条件的直线l，易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k，直线l的方程为y=k(x−5)由方程组依题意设交点C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD的中点为R(x0,y0)，则x1+x2=50k25k2+4,x0=x1+x22=25k25k2+4∴y0=k(x0−5)=k(25k25k2+4−5)=−20k5k2+4.第4页共17页第3页共17页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第4页共17页又|F2C|=|F2D|⇔F2R⊥l⇔k⋅kF2R=−1∴k⋅kF2R=k⋅0−(−20k5k2+4)1−25k25k2+4=20k24−20k2=−1∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立，综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|[点评]要注意从判别式得到k的范围，对于条件“|F2C|=|F2D|”不要轻易将点F2和C、D的坐标用两点间距离公式表示，否则陷入计算繁杂的圈套.类型2：关于定点和定值问题策略【题4】已知点P与点F（2，0）的距离比它到直线＋4＝0的距离小2，若记点P的轨迹为曲线C.直线L与曲线C相交于A、B两点，且OA⊥OB.（1）求曲线C的方程。（2）求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标.【题4】（1）解法1：点P与点F（2，0）的距离比它到直线＋4＝0的距离小2，所以点P与点F（2，0）的距离与它到直线＋2＝0的距离相等.由抛物线定义得：点在...