第四节导数与函数的综合问题A组基础题组1.若某商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y=-x3+27x+123(x>0),则获得最大年利润时的年产量为()A.1百万件B.2百万件C.3百万件D.4百万件2.(2014课标Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,-1)3.(2016北京朝阳期中)已知函数f(x)=alnx+-(a+1)x.(1)当a>0时,求函数f(x)的单调区间;(2)当a=-1时,证明f(x)≥.4.(2018北京海淀期中)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=2x-3.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)在[0,2]上的最大值;(3)求证:存在唯一的x0,使得f(x0)=g(x0).5.(2016北京海淀二模)已知f(x)=x3+ax2-a2x-1,a>0.(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;(2)若关于x的不等式f(x)≤0在[1,+∞)上有解,求实数a的取值范围;(3)若存在x0既是函数f(x)的零点,又是函数f(x)的极值点,请写出此时a的值.(只需写出结论)B组提升题组6.(2017北京西城一模)已知函数f(x)=ex-x2.设l为曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线,其中x0∈[-1,1].(1)求直线l的方程(用x0表示);(2)求直线l在y轴上的截距的取值范围;(3)设直线y=a分别与曲线y=f(x)和射线y=x-1(x∈[0,+∞))交于M,N两点,求|MN|的最小值及此时a的值.7.(2018北京海淀期末)已知函数f(x)=(x-1)ex+ax2.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求证:“a<0”是“函数f(x)有且只有一个零点”的充分不必要条件.8.(2016北京东城二模)设函数f(x)=-x,a∈R.(1)若a=-1,求f(x)在区间上的最大值;(2)设b≠0,求证:当a=-1时,过点P(b,-b)有且只有一条直线与曲线y=f(x)相切;(3)若对任意的x∈,均有f(x)|x-1|≤1成立,求a的取值范围.9.(2017北京朝阳一模)已知函数f(x)=x3-3ax+e,g(x)=1-lnx,其中e为自然对数的底数.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线l:x+2y=0垂直,求实数a的值;(2)设函数F(x)=-x,若F(x)在区间(m,m+1)(m∈Z)内存在唯一的极值点,求m的值;(3)用max{m,n}表示m,n中的较大者,记函数h(x)=max{f(x),g(x)}(x>0).若函数h(x)在(0,+∞)上恰有2个零点,求实数a的取值范围.答案精解精析A组基础题组1.Cy'=-3x2+27=-3(x+3)(x-3),当0
0;当x>3时,y'<0.故当x=3时,该商品的年利润最大.2.C当a=0时,不符合题意.当a≠0时,f'(x)=3ax2-6x,令f'(x)=0,得x1=0,x2=.若a>0,则由图象知f(x)有负数零点,不符合题意.则a<0,由图象结合f(0)=1>0知,此时必有f>0,即a×-3×+1>0,化简得a2>4,又a<0,所以a<-2,故选C.3.解析函数的定义域为{x|x>0}.f'(x)=+x-(a+1)==.(1)①当00,得x>1或00,所以f'(x)≥0恒成立.函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞).③当a>1时,令f'(x)>0,得x>a或00,h(-1)>h(1)>0,所以函数h(x)在(-1,+∞)上没有零点,又h(-3)=-15<0,所以函数h(x)在(-∞,-1)上有唯一零点x0.综上,在(-∞,+∞)上存在唯一的x0,使得f(x0)=g(x0).5.解析(1)当a=2时,f(x)=x3+2x2-4x-1,所以f'(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2).令f'(x)=0,得x1=,x2=-2,随着x的变化,f'(x)及f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-2)-2f'(x)+0-...
