第一节变化率与导数、导数的计算A组基础题组1.(2015北京东城一模)记函数f(x)的导数为f'(x),若f(x)对应的曲线在点(x0,f(x0))处的切线方程为y=-x+1,则()A.f'(x0)=2B.f'(x0)=1C.f'(x0)=0D.f'(x0)=-12.曲线f(x)=在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为,则实数a=()A.1B.-1C.7D.-73.已知f(x)=x(2014+lnx),若f'(x0)=2015,则x0=()A.e2B.1C.ln2D.e4.已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=()A.-1B.0C.2D.45.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.6.已知a∈R,设函数f(x)=ax-lnx的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.7.已知函数f(x)=ex-mx+1的图象为曲线C,若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则实数m的取值范围为.8.已知函数f(x)=x-,g(x)=a(2-lnx)(a>0).若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率相同,求a的值,并判断两条切线是否为同一条直线.9.已知函数f(x)=x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围;(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.B组提升题组10.已知函数f(x)=ex-2ax,g(x)=-x3-ax2.若不存在x1,x2∈R,使得f'(x1)=g'(x2),则实数a的取值范围为()A.(-2,3)B.(-6,0)C.[-2,3]D.[-6,0]11.已知f(x)=acosx,g(x)=x2+bx+1,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在交点(0,m)处有公切线,则a+b=()A.-1B.0C.1D.212.若函数f(x)=lnx+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是.13.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.答案精解精析A组基础题组1.D2.C3.B4.B5.答案y=2x解析当x>0时,-x<0,f(-x)=ex-1+x,而f(-x)=f(x),所以f(x)=ex-1+x(x>0),点(1,2)在曲线f(x)=ex-1+x(x>0)上,易知f'(1)=2,故曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2=f'(1)·(x-1),即y=2x.6.答案1解析本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距.由题意可知f'(x)=a-,所以f'(1)=a-1,因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1.令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1.7.答案解析函数f(x)=ex-mx+1的导函数为f'(x)=ex-m,要使曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则需ex-m=-有解,即m=ex+有解,由ex>0,得m>,则实数m的取值范围为.8.解析根据题意有曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为f'(1)=3,曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率为g'(1)=-a.又f'(1)=g'(1),所以a=-3.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-f(1)=3(x-1),得y+1=3(x-1),即切线方程为3x-y-4=0.曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为y-g(1)=3(x-1),得y+6=3(x-1),即切线方程为3x-y-9=0,所以两条切线不是同一条直线.9.解析(1)由题意得f'(x)=x2-4x+3,则f'(x)=(x-2)2-1≥-1,即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[-1,+∞).(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k,则由(2)中条件并结合(1)中结论可知,解得-1≤k<0或k≥1,故由-1≤x2-4x+3<0或x2-4x+3≥1,得x∈(-∞,2-]∪(1,3)∪[2+,+∞).B组提升题组10.D依题意,知函数f'(x)与g'(x)值域的交集为空集,∵f'(x)=ex-2a>-2a,g'(x)=-3x2-2ax≤,∴≤-2a,解得-6≤a≤0.11.C依题意得,f'(x)=-asinx,g'(x)=2x+b,f'(0)=g'(0),∴-asin0=2×0+b,故b=0,∵m=f(0)=g(0),∴m=a=1,因此a+b=1,选C.12.答案∪解析f'(x)=+a(x>0).∵函数f(x)=lnx+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,∴方程+a=2在区间(0,+∞)上有解,即a=2-在区间(0,+∞)上有解,∴a<2.若直线2x-y=0与曲线f(x)=lnx+ax相切,设切点为(x0,2x0),则解得x0=e,a=2-.综上,实数a的取值范围是∪.13.解析(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3,当x=2时,y=,故2a-=,又f'(x)=a+,即有a+=,解得a=1,b=3.故f(x)=x-.(2)证明:设P(x0,y0)为曲线上任一点,由(1)知,f'(x)=1+,则曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-=(x-x0).令x=0,得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为·|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.
