第75讲绝对值不等式夯实基础【p171】【学习目标】1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：①|a＋b|≤|a|＋|b|；②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.3．会用绝对值不等式、基本不等式证明一些简单问题；能够利用基本不等式求一些特定函数的最(极)值．【基础检测】1．不等式|3－2x|≥5的解集是()A．{x|x≤－1}B．{x|－1≤x≤4}C．{x|x≤－1或x≥4}D．{x|x≥4}【解析】因为|3－2x|≥5，所以3－2x≥5或3－2x≤－5，即x≤－1或x≥4.【答案】C2．若不等式|x－4|－|x－3|≤a对一切x∈R恒成立，那么实数a的取值范围是()A．a>1B．a<1C．a≤1D．a≥1【解析】根据绝对值不等式，分类讨论去绝对值，得f(x)＝所以f(x)max＝1，所以a≥1.【答案】D3．若a，b，c∈R，且满足|a－c|
c；②b＋c>a；③a＋c>b；④|a|＋|b|>|c|.其中错误的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】⇒∴①、②都正确，③不正确．又|a－c|＝|c－a|≥|c|－|a|，∴|c|－|a||c|.④正确．【答案】A4．已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m、n之间的关系是()A．m>nB．ma(或0)去绝对值；②定义法：利用绝对值定义去绝对值；③平方法：利用不等式两边同时平方去绝对值；④几何法：利用绝对值的几何意义求解．考点2含绝对值不等式的证明(1)已知|a|<1，|b|<1，求证：||>1.(2)求实数λ的取值范围，使不等式||>1对满足|a|<1，|b|<1的一切实数a，b恒成立．【解析】(1)|1－ab|2－|a－b|2＝1＋a2b2－a2－b2＝(a2－1)(b2－1)． |a|<1，|b|<1，∴a2－1<0，b2－1<0.∴|1－ab|2－|a－b|2>0，∴|1－ab|>|a－b|.∴＝>1.(2) ||>1⇔|1－abλ|2>|aλ－b|2⇔(a2λ2－1)(b2－1)>0. b2<1，∴a2λ2－1<0对于任意满足|a|<1的a恒成立．当a＝0时，a2λ2－1<0成立；当a≠0，只需λ2<对于任意满足|a|<1的a恒成立，而>1，∴λ2≤1.∴λ的取值范围是－1≤λ≤1.【点评】证明含有绝对值的不等式，其思路主要有两条：一是恰当地运用|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条件；二是把含有绝对值的不等式等价转化为不含有绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法等进行证明其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法．考点3绝对值不等式的综合应用已知函数f(x)＝|x－1|.(1)解不等式f(x)＋f(2x＋5)≥x＋9；(2)若a>0，b>0，且＋＝2，证明：f(...
