第24讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用夯实基础【p56】【学习目标】1．理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性．2．会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及其周期．3．理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题．【基础检测】1．f(x)＝sin的最小正周期和振幅分别是()A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2【解析】由正弦函数的性质知，T＝＝π，振幅为1，故选A.【答案】A2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是()A．y＝4sinB．y＝2sin＋2C．y＝2sin＋2D．y＝2sin＋2【解析】最小值为0，排除A选项．最小正周期为，ω＝4，排除B选项．代入x＝可知C选项不符合，故选D.【答案】D3．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________．【解析】由图象得，当sin＝－1时，ymin＝2，求得k＝5，当sin＝1时，ymax＝3×1＋5＝8.【答案】84．已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象完全相同．若x∈，则f(x)的值域是______________．【解析】f(x)＝3sin＝3cos＝3cos所以ω＝2，则f(x)＝3sin， x∈，∴－≤2x－≤，∴－≤f(x)≤3.【答案】【知识要点】1．基本三角函数的性质名称定义域值域周期性奇偶性单调性对称性y＝sinxR[－1，1]T＝2π奇函数递增区间(k∈Z)递减区间(k∈Z)关于直线x＝kπ＋(k∈Z)轴对称关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称y＝cosxR[－1，1]T＝2π偶函数递增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)递减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)关于直线x＝kπ(k∈Z)轴对称关于点(k∈Z)中心对称y＝tanx{x|x≠kπ＋，k∈Z}RT＝π奇函数在每一个区间(k∈Z)内都是增函数关于点(k∈Z)中心对称，不是轴对称图形2.y＝Asinx＋B(x∈R)和y＝Acosx＋B(x∈R)的最大值为__|A|＋B__，最小值为__－|A|＋B__．3．三角函数都不是单调函数，但是它们有无数个单调区间且彼此独立，运用三角函数的单调性比较三角函数值大小时，必须使被比较的函数同名，且自变量要落在同一个单调区间内．4．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B，y＝Acos(ωx＋φ)＋B的周期为T＝____；函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝____，注意y＝__|sin__x|__，y＝|cosx|的周期为T＝__π__，但y＝|tanx|的周期仍为__π__．5．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象具有轴对称和中心对称，具体如下：(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中ωxk＋φ＝kπ＋，k∈Z)成轴对称图形．(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk，0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．典例剖析【p57】考点1由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(1)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值可以是()A.B.C.D.【解析】 P在f(x)的图象上，∴f(0)＝sinθ＝. θ∈，∴θ＝，∴f(x)＝sin.∴g(x)＝sin. g(0)＝，∴sin＝.验证φ＝π时，sin＝sin＝sin＝成立．【答案】B(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0，－＜φ＜)，其部分图象如下图所示，将f(x)的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的倍，再向右平移1个单位得到g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为()A．g(x)＝sinB．g(x)＝sinC．g(x)＝sinD．g(x)＝sin【解析】根据图象可知：A＝1，T＝4＝8＝，解得ω＝，所以f＝sin，由＋φ＝＋2kπ且－<φ<，解得：φ＝，所以f＝sin.将其横坐标变为原来的倍，得到y＝sin，再向右平移1个单位得到：g＝sin＝sin，所以答案为B.【答案】B【小结】确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝.(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大...
