高考数学总复习 第三章第8课时 正弦定理和余弦定理的应用举例 课时闯关（含解析）VIP免费

一、选择题1．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长是()A.B.C.D.解析：选A.由＝，得b＝＝＝，∵B角最小，∴最短边是b.2．(2012·贵阳调研)在△ABC中，角A、B均为锐角，且cosA>sinB，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：选C.cosA＝sin(－A)>sinB，－A，B都是锐角，则－A>B，A＋B<，C>.3．(2011·高考天津卷)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为()A.B.C.D.解析：选D.设AB＝a，∴AD＝a，BD＝a，BC＝2BD＝a，cosA＝＝＝，∴sinA＝＝.由正弦定理知sinC＝·sinA＝×＝.4．一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为()A.海里/时B．34海里/时C.海里/时D．34海里/时解析：选A.如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.在△PMN中，由正弦定理，得＝，∴MN＝68×＝34(海里)．又由M到N所用时间为14－10＝4(小时)，∴船的航行速度v＝＝(海里/时)．5．(2012·北师大附中月考)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是()A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里解析：选A.如图所示，由已知条件可得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，即AB＝40×＝20(海里)，∴∠BCA＝45°，∴由正弦定理可得：＝，∴BC＝＝10(海里)．二、填空题6．在直径为30m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为________m.解析：轴截面如图，则光源高度h＝＝5m.答案：57．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.解析：如图所示，依题意有：AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得＝，解得BM＝30(km)．答案：308．如图所示，客轮以速度2v由A至B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发，以速度v沿直线匀速航行，将货物送达客轮，已知AB⊥BC，且AB＝BC＝50海里，若两船同时起航出发，则两船相遇之处距C点________海里(结果精确到小数点后1位)．解析：设两船相遇之处距C点x海里，其中CD＝25，则＝，解得x2＝，x≈40.8，即两船相遇之处距C点40.8海里．答案：40.8三、解答题9．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度．解：法一：作AE⊥BC，垂足为E，∵AB＝AC＝2，BC＝2，∴E为BC的中点，且EC＝.在Rt△AED中，AE＝1，又∠ADE＝45°，∴DE＝1，∴AD＝.法二：∵AB＝AC＝2，BC＝2，∴由余弦定理得cosC＝＝＝.又∵∠C∈(0°，180°)，∴∠C＝30°.在△ADC中，由正弦定理得＝，即AD＝＝＝＝.10．如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船向正南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°方向，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°方向，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解：在△ABC中，BC＝30，∠B＝30°，∠ACB＝180°－45°＝135°，所以∠A＝15°.由正弦定理，得＝，即＝，所以AC＝＝15(＋)．所以A到BC的距离为AC·sin45°＝15(＋)×＝15(＋1)≈15×(1.732＋1)＝40.98(海里)．这个距离大于38海里，所以继续向南航行无触礁的危险．11．(2010·高考陕西卷)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意知AB＝5(3＋)(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理得＝，∴DB＝＝＝＝＝10(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10×20×＝900，∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．即该救援船到达D点需要1小时．