课时作业55最值、范围、证明问题1.若A(0,),B(,1)是椭圆C:+=1(a>b>0)上的两点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,M为椭圆C上一动点,点P(3,0),线段PM的垂直平分线交y轴于点Q,求|OQ|的最小值.解:(1)由题意知代入A,B两点坐标,得=1,+=1,解得a2=6,b2=2,所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)根据题意知直线PM,QN的斜率均存在且不为0.设M坐标为(x0,y0),则+=1,即x=6-3y.①线段PM的中点N,kPM·kQN=-1,即kQN=,所以直线lQN:y-=.令x=0,并结合①式得yQ=+=+=,|OQ|=|yQ|==+|y0|≥2=,当且仅当=|y0|,即y0=±时取等号,所以|OQ|的最小值为.2.抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点.(1)O为坐标原点,求证:OA·OB=-3;(2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值.解:(1)证明:依题意得,F(1,0),且直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x=my+1.联立消去x得y2-4my-4=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=1,故OA·OB=x1x2+y1y2=-3.(2)由点C与原点O关于点M对称,得M是线段OC的中点,从而点O与点C到直线AB的距离相等,所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.由(1)知2S△AOB=2×|OF||y1-y2|==4,所以当m=0时,四边形OACB的面积最小,最小值是4.3.已知椭圆+=1(a>b>0)上的点到右焦点F(c,0)的最大距离是+1,且1,a,4c成等比数列.(1)求椭圆的方程;(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m,0),求实数m的取值范围.解:(1)由已知可得解得所以椭圆的方程为+y2=1.(2)由题意得F(1,0),设直线AB的方程为y=k(x-1).与椭圆方程联立得消去y可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2)-2k=.可得线段AB的中点为N.当k=0时,直线MN为y轴,此时m=0.当k≠0时,直线MN的方程为y+=-,化简得ky+x-=0.令y=0,得m=.所以m==∈.综上所述,m的取值范围为.4.已知点A(1,-)在椭圆C:+=1(a>b>0)上,O为坐标原点,直线l:-=1的斜率与直线OA的斜率乘积为-.(1)求椭圆C的方程;(2)不经过点A的直线y=x+t(t≠0且t∈R)与椭圆C交于P,Q两点,P关于原点的对称点为R(与点A不重合),直线AQ,AR与y轴分别交于两点M,N,求证:|AM|=|AN|.解:(1)由题意知,kOA·kl=-·=-=-,即a2=4b2,①又+=1,②所以联立①②,解得,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),则R(-x1,-y1),由,得x2+tx+t2-1=0,所以Δ=4-t2>0,即-2b>0)的一个焦点,点M在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l与椭圆C分别相交于A,B两点,且kOA+kOB=-(O为坐标原点),求直线l的斜率的取值范围.解:(1)由题意知,椭圆的另一个焦点为(-,0),所以点M到两焦点的距离之和为+=4.所以a=2.又因为c=,所以b=1,则椭圆C的方程为+y2=1.(2)当直线l的斜率不存在时,结合椭圆的对称性可知,kOA+kOB=0,不符合题意.故设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立可得(4k2+1)x2+8kmx+4(m2-1)=0.则x1+x2=,x1x2=.而kOA+kOB=+==2k+=2k+=,由kOA+kOB=-,可得m2=4k+1,所以k≥-.又由Δ>0,得16(4k2-m2+1)>0,所以4k2-4k>0,解得k<0或k>1,综上,直线l的斜率的取值范围为∪(1,+∞).6.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且椭圆C过点.(1)求椭圆C的...