课时作业17利用导数证明不等式1．已知函数f(x)＝aexlnx的图象在x＝1处的切线与直线x＋2ey＝0垂直．(1)求a的值；(2)证明：xf(x)>1－5ex－1
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a，则由题意知f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率k＝f′(1)＝ae＝2e，所以a＝2
(2)证明：要证明xf(x)>1－5ex－1，即证明2xexlnx>1－5ex－1，x>0，即证明2xlnx＋>，令g(x)＝2xlnx＋，则g′(x)＝2(lnx＋1)．当0，所以xf(x)>1－5ex－1
2．已知f(x)＝x2－a2lnx，a>0
(1)求函数f(x)的最小值；(2)当x>2a时，证明：>a
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－＝
当x∈(0，a)时，f′(x)0，f(x)单调递增．所以当x＝a时，f(x)取得极小值，也是最小值，且f(a)＝a2－a2lna
(2)证明：由(1)知，f(x)在(2a，＋∞)上单调递增，则所证不等式等价于f(x)－f(2a)－a(x－2a)>0
设g(x)＝f(x)－f(2a)－a(x－2a)，则当x>2a时，g′(x)＝f′(x)－a＝x－－a＝>0，所以g(x)在(2a，＋∞)上单调递增，当x>2a时，g(x)>g(2a)＝0，即f(x)－f(2a)－a(x－2a)>0，故>a
3．已知函数f(x)＝(x2－x－1)ex
(1)若f(x)在区间(a，a＋5)上有最大值，求整数a的所有可能取值；(2)求证：当x>0时，f(x)0，得x0，令f′(x)0)，则g′(x)＝＝－＝－
当0e时，g′(x)0)，则h′(x)＝，当0时，g(x)≤lnx成立．
