课时作业17利用导数证明不等式1．已知函数f(x)＝aexlnx的图象在x＝1处的切线与直线x＋2ey＝0垂直．(1)求a的值；(2)证明：xf(x)>1－5ex－1.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a，则由题意知f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率k＝f′(1)＝ae＝2e，所以a＝2.(2)证明：要证明xf(x)>1－5ex－1，即证明2xexlnx>1－5ex－1，x>0，即证明2xlnx＋>，令g(x)＝2xlnx＋，则g′(x)＝2(lnx＋1)．当0
时，g′(x)>0.所以g(x)＝2xlnx＋在上为减函数，在上为增函数，所以g(x)min＝g＝.因为y＝x在(0，＋∞)上为减函数，所以x<0＝1，所以g(x)≥>1>，所以xf(x)>1－5ex－1.2．已知f(x)＝x2－a2lnx，a>0.(1)求函数f(x)的最小值；(2)当x>2a时，证明：>a.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－＝.当x∈(0，a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以当x＝a时，f(x)取得极小值，也是最小值，且f(a)＝a2－a2lna.(2)证明：由(1)知，f(x)在(2a，＋∞)上单调递增，则所证不等式等价于f(x)－f(2a)－a(x－2a)>0.设g(x)＝f(x)－f(2a)－a(x－2a)，则当x>2a时，g′(x)＝f′(x)－a＝x－－a＝>0，所以g(x)在(2a，＋∞)上单调递增，当x>2a时，g(x)>g(2a)＝0，即f(x)－f(2a)－a(x－2a)>0，故>a.3．已知函数f(x)＝(x2－x－1)ex.(1)若f(x)在区间(a，a＋5)上有最大值，求整数a的所有可能取值；(2)求证：当x>0时，f(x)<－3lnx＋x3＋(2x2－4x)ex＋7.解：(1)f′(x)＝(x2＋x－2)ex＝(x＋2)(x－1)ex，当x<－2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当－21时，f′(x)>0，f(x)单调递增．由题意知a<－20，g(x)单调递增，当x>2时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)的最大值为g(2)＝e2.当01时，h′(x)>0，h(x)单调递增，所以h(x)的最小值为h(1)＝8，又8>e2，所以g(x)的最大值小于h(x)的最小值，故x>0时，恒有g(x)0)．(1)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k的值；(2)求证：当n∈N*时，1＋＋＋…＋>ln(n＋1)．解：(1)∵f(x)＝kx－lnx－1，∴f′(x)＝k－＝(x>0，k>0)；当0时，f′(x)>0.∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，∴f(x)min＝f＝lnk，∵f(x)有且只有一个零点，∴lnk＝0，∴k＝1.(2)证明：由(1)知x－lnx－1≥0，即x－1≥lnx，当且仅当x＝1时取等号，∵n∈N*，令x＝，得>ln，∴1＋＋＋…＋>ln＋ln＋…ln＝ln(n＋1)，故1＋＋＋…＋>ln(n＋1)．5．已知函数f(x)＝x2·eax－1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a>时，求证：f(x)>lnx(x>0)．解：(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2xeax＋x2aeax＝x(ax＋2)eax.当a＝0时，f(x)＝x2－1，则f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，0)上单调递减．当a>0时，f′(x)＝ax(x＋)eax，令f′(x)>0，得x<－或x>0，令f′(x)<0得－0，得0－或x<0，所以f(x)在区间(－∞，0)，(－，＋∞)上单调递减，在区间(0，－)上单调递增．综上，当a＝0时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，0)上单调递减；当a>0时，f(x)在区间(－∞，－)，(0，＋∞)上单调递增，在区间(－，0)上单调递减；当a<0时，f(x)在区间(－∞，0)，(－，＋∞)上单调递减，在区间(0，－)上单调递增．(2)证明：要证f(x)>lnx(x>0)，即证x2eax>lnx＋1，即证>(x>0)．令g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝＝－＝－.当00；当x>e时，g′(x)<0.所以g(x)在区间(0，e)上单调递增，在区间(e，＋∞)上单调递减，所以x＝e是g(x)的极大值点，也是g(x)的最大值点，即g(x)max＝g(e)＝＝.令h(x)＝(x>0)，则h′(x)＝，当0时，h′(x)>0.所以h(x)在区间(0，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增，所以x＝是h(x)的极小值点，也是h(x)的最小值点，即h(x)min＝h()＝ae.当a>时，g(x)≤lnx成立．
