课时作业39基本不等式一、选择题1．设a>0，则a＋的最小值为(D)A．2B．2C．4D．5解析：a＋＝a＋1＋≥1＋2＝5，当且仅当a＝2时取等号，故选D.2．(2019·浙江卷)设a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，由a＋b≤4可得2≤4，解得ab≤4，所以充分性成立；当ab≤4时，取a＝8，b＝，满足ab≤4，但a＋b>4，所以必要性不成立．所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.3．已知a>0，b>0，则，，，中最小的是(D)A.B.C.D.解析： a>0，b>0，∴≥，≤＝.又 a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，∴≥.∴≥≥≥，故选D.4．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取得最小值，则a等于(C)A．1＋B．1或3C．3D．4解析： x>2，∴x－2>0，∴f(x)＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝且x>2，即x＝3时等号成立，∴a＝3，故选C.5．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(D)A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]解析： 1＝2x＋2y≥2＝2，∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2.6．已知a＋b＝t(a>0，b>0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t＝(C)A．2B．4C．2D．2解析： a>0，b>0，∴ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号． ab的最大值为2，∴＝2，t2＝8.又t＝a＋b>0，∴t＝＝2.7．已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为(D)A.B.C．－1D．0解析：f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．又1∈，所以f(x)在上的最小值是0.8．(多选题)在下列函数中，最小值是2的函数有(AD)A．f(x)＝x2＋B．f(x)＝cosx＋C．f(x)＝D．f(x)＝3x＋－2解析：对于A，x2>0，>0且x2·＝1，满足都是正数且乘积为定值．由基本不等式可知f(x)＝x2＋≥2＝2，当且仅当x2＝，即x＝±1时取等号，所以A正确；对于B，cosx>0，>0，且cosx·＝1.满足都是正数且乘积为定值．由基本不等式可知f(x)＝cosx＋≥2＝2.当且仅当cosx＝，即x＝0时取等号，因为00，>0，且·＝1.满足都是正数且乘积为定值．由基本不等式可知f(x)＝＋≥2＝2.当且仅当＝，即x2＋2＝0时取等号，因为方程无解，所以取不到等号，即C错误；对于D,3x>0，>0且3x·＝4，满足都是正数且乘积为定值．由基本不等式可知f(x)＝3x＋－2≥2－2＝2.当且仅当3x＝，即3x＝2，x＝log32时取等号，所以D正确；综上可知最小值是2的函数有AD.故答案为AD.二、填空题9．已知函数y＝x＋，x∈，则y的最小值是2.解析： x∈，∴y＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝时，等号成立，∴y的最小值为2.10．已知a>0，则的最小值为－1.解析：＝＝4a－5＋. a>0，∴4a－5＋≥2－5＝－1，当且仅当4a＝，即a＝时取等号，∴的最小值为－1.11．若x>0，y>0，x＋4y＋2xy＝7，则x＋2y的最小值是3.解析：因为x>0，y>0，x＋4y＋2xy＝7，则2y＝.则x＋2y＝x＋＝x＋2＋－3≥2－3＝3，当且仅当x＝1时取等号．因此其最小值是3.12．(多填题)若实数x，y满足x>y>0，且log2x＋log2y＝1，则＋的最小值是4，的最大值为.解析：由log2x＋log2y＝1，得log2(xy)＝1，即xy＝2，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝2，y＝1时等号成立．由题意知＝>0，又＝(x－y)＋≥2＝4，当且仅当x－y＝，即x＝1＋，y＝－1时等号成立，所以的最小值为4，所以的最大值为.三、解答题13．已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋y2＝x＋y.(1)求＋的最小值．(2)是否存在x，y满足(x＋1)(y＋1)＝5？并说明理由．解：(1)因为＋＝＝≥＝2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，所以＋的最小值为2.(2)不存在．理由如下：因为x2＋y2≥2xy，所以(x＋y)2≤2(x2＋y2)＝2(x＋y)．又x，y∈(0，＋∞)，所以x＋y≤2.从而有(x＋1)(y＋1)≤2≤4，因此不存在x，y满足(x＋1)(y＋1)＝5.14．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物...
