课时作业45空间向量及其运算一、选择题1．已知点A(－3,0，－4)，点A关于原点的对称点为B，则|AB|等于(D)A．12B．9C．25D．10解析：点A关于原点对称的点B的坐标为(3,0,4)，故|AB|＝＝10.2．已知向量a＝(2，－3,5)，b＝，且a∥b，则λ等于(C)A.B.C．－D．－解析：a∥b⇔a＝kb⇔⇔3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值为(D)A．1B.C.D.解析：ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，由题意知，3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝.4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三个向量共面，则实数λ等于(D)A.B.C.D.解析：由于a，b，c三个向量共面，所以存在实数m，n使得c＝ma＋nb，即有解得m＝，n＝，λ＝.5．设A，B，C，D是空间不共面的四个点，且满足AB·AC＝0，AD·AC＝0，AD·AB＝0，则△BCD的形状是(C)A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．无法确定解析：BC·BD＝(AC－AB)·(AD－AB)＝AC·AD－AC·AB－AB·AD＋AB2＝AB2>0，同理DB·DC>0，CB·CD>0，故△BCD为锐角三角形．故选C.6．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，AM＝MC1，点N为B1B的中点，则|MN|等于(A)A.aB.aC.aD.a解析： MN＝AN－AM＝AN－AC1＝AB＋BN－(AB＋AD＋AA1)＝AB＋AA1－AD，∴|MN|＝＝a.故选A.7．在空间直角坐标系Oxyz中，四面体ABCD各顶点坐标分别为A(2,2,1)，B(2,2，－1)，C(0,2,1)，D(0,0,1)，则该四面体外接球的表面积是(B)A．16πB．12πC．4πD．6π解析：通过各点坐标可知，A，B，C，D四点恰为棱长为2的正方体的四个顶点，故此四面体与对应的正方体有共同的外接球，其半径R为正方体体对角线的一半，则R＝＝，故该四面体外接球的表面积是4πR2＝12π.故选B.8．在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则AF的最大值为(B)A.B．1C.D．2解析：以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则C1(4,4,4)．设E(0,0，z)，z∈[0,4]，F(x,0,0)，x∈[0,4]，设AF＝x.故EC1＝(4,4,4－z)，EF＝(x,0，－z)．因为C1E⊥EF，所以EC1·EF＝0，即z2＋4x－4z＝0，则x＝z－z2＝－(z－2)2＋1，所以当z＝2时，x取得最大值1.所以AF的最大值为1.故选B.二、填空题9．已知点P在z轴上，且满足|OP|＝1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离为或.解析：由题意知，P(0,0,1)或P(0,0，－1)．∴|PA|＝＝.或|PA|＝＝.10．已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示向量MN＝(b＋c－a)．解析：如图，MN＝(MB＋MC)＝[(OB－OM)＋(OC－OM)]＝(OB＋OC－2OM)＝(OB＋OC－OA)＝(b＋c－a)．11．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当QA·QB取最小值时，点Q的坐标是.解析：由题意，设OQ＝λOP，即OQ＝(λ，λ，2λ)，则QA＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA·QB＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－，当λ＝时有最小值，此时Q点坐标为.三、解答题12．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得OE⊥b？(O为原点)解：(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2，1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝＝5.(2)令AE＝tAB(t∈R)，所以OE＝OA＋AE＝OA＋tAB＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，若OE⊥b，则OE·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.因此存在点E，使得OE⊥b，此时E点的坐标为(－，－，)．13.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，设E，F分别为PC，BD的中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PDC.证明：(1)如图，取AD的中点O，连接OP，OF.因为PA＝PD，所以PO⊥AD.因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.又O，F分别为AD，BD的中点，所以OF∥AB.又ABCD是正方形，所以OF⊥AD.因为PA＝PD＝AD，所以PA⊥PD，OP＝OA＝.以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标...
