课时作业22简单的三角恒等变换一、选择题1．已知sin＝cos，则tanα＝(B)A．1B．－1C．D．0解析：∵sin＝cos，∴cosα－sinα＝cosα－sinα，即sinα＝cosα，∴tanα＝＝－1.2．化简：＝(C)A．1B．C．D．2解析：原式＝＝＝＝.3．已知α是第三象限的角，且tanα＝2，则sin＝(C)A．－B．C．－D．解析：因为α是第三象限的角，tanα＝2，所以所以cosα＝－，sinα＝－，则sin＝sinαcos＋cosαsin＝－×－×＝－.4．已知cosα－sinα＝，则cos＝(C)A．－B．－C．D．解析：由cosα－sinα＝，得1－sin2α＝，所以sin2α＝，所以cos＝sin2α＝，故选C．5．直线y＝2x绕原点顺时针旋转45°得到直线l，若l的倾斜角为α，则cos2α的值为(D)A．B．C．－D．解析：设直线y＝2x的倾斜角为β，则tanβ＝2，α＝β－45°，所以tanα＝tan(β－45°)＝＝，cos2α＝cos2α－sin2α＝＝，故选D．6．已知α∈，若sin2α＝，则cosα＝(D)A．－B．C．－D．解析：因为sin2α＝2sinαcosα＝，sin2α＋cos2α＝1，所以25cos4α－25cos2α＋4＝0，解得cos2α＝或cos2α＝(舍去)，故cosα＝.7.＋＝(C)A．4B．－4C．－4D．4解析：原式＝－＝＝＝＝＝＝－4.8．若cosα＝，cos(α＋β)＝－，α∈，α＋β∈，则β为(C)A．－B．C．D．－解析：∵cosα＝，α∈，∴sinα＝.∵cos(α＋β)＝－，α＋β∈，∴sin(α＋β)＝，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.又∵α∈，α＋β∈，∴β＝.二、填空题9．若tan＝，则tanα＝.解析：tanα＝tan＝＝＝.10．化简：＝2sinα.解析：＝＝＝2sinα.11．已知cos＋cosα＝，则cos＝.解析：由cos＋cosα＝可得cosαcos＋sinαsin＋cosα＝，即cosα＋sinα＝，＝，得sin＝，故cos＝sin＝.三、解答题12．化简：(1)；(2).解：(1)原式＝＝＝＝＝－4.(2)解法1：原式＝＝＝＝＝sincoscosα＝sinαcosα＝sin2α.解法2：原式＝＝cos2α·＝cos2α·tanα＝cosαsinα＝sin2α.13．已知函数f(x)＝2sinxsin.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．解：(1)因为f(x)＝2sinx＝×＋sin2x＝sin＋，所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.(2)当x∈时，2x－∈，sin∈，f(x)∈.故f(x)的值域为.14．设θ∈R，则“0<θ<”是“sinθ＋cos2θ>1”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：sinθ＋cos2θ>1⇔sinθ>1－cos2θ＝2sin2θ⇔(2sinθ－)sinθ<0⇔01的充分不必要条件，故选A．15．(多填题)已知锐角A满足方程3cosA－8tanA＝0，则sinA＝，cos2A＝.解析：由题意得，3cos2A－8sinA＝0，所以3sin2A＋8sinA－3＝0，解得sinA＝或sinA＝－3(舍去)，所以cos2A＝1－2sin2A＝.16．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴的正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是.(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．解：(1)由题意知OA＝OM＝1，∵S△OAM＝·OA·OM·sinα＝，且α为锐角，∴sinα＝，cosα＝.∵点B的纵坐标是，且β为钝角，∴sinβ＝，cosβ＝－，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝－.(2)∵cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－，sin2α＝2sinα·cosα＝2××＝，∴2α∈，又∵β∈，∴2α－β∈.∵sin(2α－β)＝sin2α·cosβ－cos2α·sinβ＝×－×＝－，∴2α－β＝－.
