新高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时作业30 平面向量数量积的应用（含解析）-人教版高三数学试题VIP免费

课时作业30平面向量数量积的应用一、选择题1．(多选题)在△ABC中，下列命题正确的是(BC)A.AB－AC＝BCB.AB＋BC＋CA＝0C．若(AB＋AC)·(AB－AC)＝0，则△ABC为等腰三角形D．若AC·AB>0，则△ABC为锐角三角形解析： AB－AC＝CB，∴A错误； AB＋BC＋CA＝0，∴B正确； (AB＋AC)·(AB－AC)＝AB2－AC2＝0，∴|AB|＝|AC|，∴△ABC为等腰三角形，∴C正确； AC·AB>0，∴A为锐角，但不能判断三角形的形状，∴D错误，故选BC.2．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2，则点P的轨迹是(D)A．圆B．椭圆C．双曲线D.抛物线解析： PA＝(－2－x，－y)，PB＝(3－x，－y)，∴PA·PB＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6，即点P的轨迹是抛物线．3．在▱ABCD中，|AB|＝8，|AD|＝6，N为DC的中点，BM＝2MC，则AM·NM等于(C)A．48B．36C．24D.12解析：AM·NM＝(AB＋BM)·(NC＋CM)＝·＝AB2－AD2＝×82－×62＝24，故选C.4．已知向量m＝(1，cosθ)，n＝(sinθ，－2)，且m⊥n，则sin2θ＋6cos2θ的值为(B)A.B．2C．2D.－2解析：由题意可得m·n＝sinθ－2cosθ＝0，则tanθ＝2，所以sin2θ＋6cos2θ＝＝＝2.故选B.5．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(C)A．内心B．外心C．重心D.垂心解析：由原等式，得OP－OA＝λ(AB＋AC)，即AP＝λ(AB＋AC)，根据平行四边形法则，知AB＋AC是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应AD的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．6．已知△ABC中，AB＝6，AC＝3，N是边BC上的点，且BN＝2NC，O为△ABC的外心，则AN·AO的值为(D)A．8B．10C．18D.9解析：由于BN＝2NC，则AN＝AB＋AC，取AB的中点为E，连接OE，由于O为△ABC的外心，则EO⊥AB，∴AO·AB＝·AB＝AB2＝×62＝18，同理可得AC·AO＝AC2＝×32＝，所以AN·AO＝·AO＝AB·AO＋AC·AO＝×18＋×＝6＋3＝9，故选D.7．已知两个单位向量a，b的夹角为120°，k∈R，则|a－kb|的最小值为(B)A.B.C．1D.解析： 两个单位向量a，b的夹角为120°，∴|a|＝|b|＝1，a·b＝－，∴|a－kb|＝＝＝， k∈R，∴当k＝－时，|a－kb|取得最小值，故选B.8．在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝1，AB＝BC＝2，∠BCD＝120°，动点P和Q分别在线段BC和CD上，且BP＝λBC，DQ＝DC，则AP·BQ的最大值为(D)A．－2B．－C.D.解析：因为AB∥CD，CD＝1，AB＝BC＝2，∠BCD＝120°，所以四边形ABCD是直角梯形，且CM＝，∠BCM＝30°，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为BP＝λBC，DQ＝DC，动点P和Q分别在线段BC和CD上，则λ∈，B(2,0)，P(2－λ，λ)，Q，所以AP·BQ＝(2－λ，λ)·＝5λ＋－4－.令f(λ)＝5λ＋－4－且λ∈，由对勾函数性质可知，当λ＝1时可取得最大值，则f(λ)max＝f(1)＝5＋－4－＝.二、填空题9．已知O为△ABC内一点，且OA＋OC＋2OB＝0，则△AOC与△ABC的面积之比是12.解析：如图所示，取AC的中点D，∴OA＋OC＝2OD，∴OD＝BO，∴O为BD的中点，∴面积之比为高之比．即＝＝.10．(多填题)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，cosA＝，D是边BC的中点，E是AB上一点，且AE＝λAB(0≤λ≤1)，AE·CE＝，则λ＝，ED·DC＝0.解析：由已知得AB·AC＝3×2×＝，CE＝λAB－AC，所以AE·CE＝λAB·(λAB－AC)＝λ2AB2－λAB·AC＝9λ2－λ＝，所以λ＝.因为ED＝EB＋BD＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC，DC＝BC＝AC－AB，所以ED·DC＝(AB＋3AC)·(AC－AB)＝(－AB2－2AB·AC＋3AC2)＝0.11．如图，A是半径为5的圆C上的一个定点，单位向量AB在A点处与圆C相切，点P是圆C上的一个动点，且点P与点A不重合，则AP·AB的取值范围是[－5,5]．解析：如图所示，以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．设点P(x，y)，B(1,0)，A(0,0)，则AB＝(1,0)，AP＝(x，y)，所以AP·AB＝(x，y)·(1,0)＝x.因为点P在圆x2＋(y－5)2＝25上，所以－5≤x≤5，即－5≤AP·AB≤5.三、解答题12．已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足PA·AM＝0，AM＝－MQ，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．解：设M(x，y)为所求轨迹上任...