课时作业32数列的概念与简单表示法一、选择题1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式an等于(D)A.B．cosC．cosπD.cosπ解析：令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．2．若数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝(2n－λ)an(n＝1,2，…)，则a3等于(D)A．5B．9C．10D.15解析：令n＝1，则3＝2－λ，即λ＝－1，由an＋1＝(2n＋1)an，得a3＝5a2＝5×3＝15.故选D.3．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则等于(D)A.B.C.D.30解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，所以＝5×6＝30.4．已知数列{an}满足a1＝，对任意正整数n，an＋1＝an(1－an)，则a2019－a2018＝(B)A.B.C．－D.－解析： a1＝，an＋1＝an(1－an)，∴a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，∴n≥2时，{an}的奇数项为，偶数项为，∴a2019－a2018＝－＝，故选B.5．设数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝(n∈N*)，则{an}的通项公式为an＝(C)A.B.C.D.解析： a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝(n∈N*)，∴易知n≥2时，2n－1an＝，又a1＝，∴对一切n∈N*,2n－1an＝，∴an＝，故选C.6．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{nan}中数值最小的项是(B)A．第2项B．第3项C．第4项D.第5项解析： Sn＝n2－10n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．∴an＝2n－11(n∈N*)．记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函数图象的对称轴为直线n＝，但n∈N*，∴当n＝3时，f(n)取最小值．∴数列{nan}中数值最小的项是第3项．7．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an>0)，则an＝(D)A．10n－2B．10n－1C．102n－4D.22n－1解析：因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an>0)，所以log2an＋1＝2log2an⇒＝2，所以{log2an}是公比为2的等比数列，所以log2an＝log2a1·2n－1(n＝1时也成立)⇒an＝22n－1.8．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－(n∈N*)，则使a1＋a2＋…＋ak<100(k∈N*)成立的k的最大值为(C)A．198B．199C．200D.201解析： a1＝，an＋1＝1－(n∈N*)，∴a2＝－1，a3＝2，a4＝，…，∴a1＋a2＋a3＝，∴a1＋a2＋a3＋…＋a198＋a199＋a200＝<100，a1＋a2＋a3＋…＋a198＋a199＋a200＋a201＝>100，a1＋a2＋a3＋…＋a198＋a199＋a200＋a201＋a202＝101>100，a1＋a2＋a3＋…＋a198＋a199＋a200＋a201＋a202＋a203＝100，∴满足题意的k的值为200，故选C.二、填空题9．若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝.解析：当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．故数列{an}的通项公式为an＝10．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an＝.解析：由an－an＋1＝nanan＋1，得－＝n，则由累加法得－＝1＋2＋…＋(n－1)＝(n≥2)，又因为a1＝1，所以＝＋1＝，所以an＝(n≥2)，经检验，当n＝1时，a1＝1符合上式．所以an＝(n∈N*)．11．(多填题)如图，将一个边长为1的正三角形分成4个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的3个小正三角形，分别再从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上的做法，得到的图形为希尔宾斯基三角形．设An是前n次挖去的小三角形面积之和(如A1是第1次挖去的中间小三角形面积，A2是前2次挖去的4个小三角形面积之和)，则A2＝，An＝.解析：A2＝×2＋3××2＝＋＝，由题意知An是一个首项为，公比为的等比数列的前n项的和，故An＝.三、解答题12．已知数列{an}的通项公式是an＝.(1)判断是不是数列{an}中的项；(2)在区间内有没有数列{an}中的项？若有，是第几项；若没有，请说明理由．解：(1)因为an＝＝＝，所以由an＝＝，解得n＝.因为不是正整数，所以不是数列{an}中的项．(2)令
