课时作业32数列的概念与简单表示法一、选择题1.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式an等于(D)A.B.cosC.cosπD.cosπ解析:令n=1,2,3,…,逐一验证四个选项,易得D正确.2.若数列{an}满足a1=1,a2=3,an+1=(2n-λ)an(n=1,2,…),则a3等于(D)A.5B.9C.10D.15解析:令n=1,则3=2-λ,即λ=-1,由an+1=(2n+1)an,得a3=5a2=5×3=15.故选D.3.若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=,则等于(D)A.B.C.D.30解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=,所以=5×6=30.4.已知数列{an}满足a1=,对任意正整数n,an+1=an(1-an),则a2019-a2018=(B)A.B.C.-D.-解析: a1=,an+1=an(1-an),∴a2=,a3=,a4=,a5=,…,∴n≥2时,{an}的奇数项为,偶数项为,∴a2019-a2018=-=,故选B.5.设数列{an}满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=(n∈N*),则{an}的通项公式为an=(C)A.B.C.D.解析: a1+2a2+22a3+…+2n-1an=(n∈N*),∴易知n≥2时,2n-1an=,又a1=,∴对一切n∈N*,2n-1an=,∴an=,故选C.6.若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n(n∈N*),则数列{nan}中数值最小的项是(B)A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项解析: Sn=n2-10n,∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-11;当n=1时,a1=S1=-9也适合上式.∴an=2n-11(n∈N*).记f(n)=nan=n(2n-11)=2n2-11n,此函数图象的对称轴为直线n=,但n∈N*,∴当n=3时,f(n)取最小值.∴数列{nan}中数值最小的项是第3项.7.数列{an}满足a1=2,an+1=a(an>0),则an=(D)A.10n-2B.10n-1C.102n-4D.22n-1解析:因为数列{an}满足a1=2,an+1=a(an>0),所以log2an+1=2log2an⇒=2,所以{log2an}是公比为2的等比数列,所以log2an=log2a1·2n-1(n=1时也成立)⇒an=22n-1.8.已知数列{an}满足a1=,an+1=1-(n∈N*),则使a1+a2+…+ak<100(k∈N*)成立的k的最大值为(C)A.198B.199C.200D.201解析: a1=,an+1=1-(n∈N*),∴a2=-1,a3=2,a4=,…,∴a1+a2+a3=,∴a1+a2+a3+…+a198+a199+a200=<100,a1+a2+a3+…+a198+a199+a200+a201=>100,a1+a2+a3+…+a198+a199+a200+a201+a202=101>100,a1+a2+a3+…+a198+a199+a200+a201+a202+a203=100,∴满足题意的k的值为200,故选C.二、填空题9.若数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则数列{an}的通项公式an=.解析:当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,显然当n=1时,不满足上式.故数列{an}的通项公式为an=10.已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=nanan+1(n∈N*),则an=.解析:由an-an+1=nanan+1,得-=n,则由累加法得-=1+2+…+(n-1)=(n≥2),又因为a1=1,所以=+1=,所以an=(n≥2),经检验,当n=1时,a1=1符合上式.所以an=(n∈N*).11.(多填题)如图,将一个边长为1的正三角形分成4个全等的正三角形,第一次挖去中间的一个小三角形,将剩下的3个小正三角形,分别再从中间挖去一个小三角形,保留它们的边,重复操作以上的做法,得到的图形为希尔宾斯基三角形.设An是前n次挖去的小三角形面积之和(如A1是第1次挖去的中间小三角形面积,A2是前2次挖去的4个小三角形面积之和),则A2=,An=.解析:A2=×2+3××2=+=,由题意知An是一个首项为,公比为的等比数列的前n项的和,故An=.三、解答题12.已知数列{an}的通项公式是an=.(1)判断是不是数列{an}中的项;(2)在区间内有没有数列{an}中的项?若有,是第几项;若没有,请说明理由.解:(1)因为an===,所以由an==,解得n=.因为不是正整数,所以不是数列{an}中的项.(2)令