[练案61]高考大题规范解答系列(五)——解析几何1.(2018·天津高考)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B,已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sin∠AOQ(O为原点),求k的值.[解析](1)设椭圆的焦距为2c,由已知有=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,|FB|=a,|AB|=b,由|FB|·|AB|=6,可得ab=6,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为+=1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.又因为|AQ|=,而∠OAB=,故|AQ|=y2.由=sin∠AOQ,可得5y1=9y2.由方程组消去x,可得y1=.易知直线AB的方程为x+y-2=0,由方程组消去x,可得y2=.由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k=,或k=.所以,k的值为或.2.(2019·全国Ⅰ)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若AP=3PB,求|AB|.[解析]设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F(,0),故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-.从而-=,得t=-.所以l的方程为y=x-.(2)由AP=3PB可得y1=-3y2.由可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|==.3.(2019·湖南联考,20)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点与上、下顶点两两相连构成直角三角形,以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线x+y-2=0相切.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点,探究在x轴上是否存在定点E,使得EA·EB的定值为-?[解析](1)由题意知,解得则椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)当直线的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-1)(k≠0),A(xA,yA),B(xB,yB),联立得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,Δ=8k2+8>0.∴xA+xB=,xAxB=.假设在x轴上存在定点E(x0,0),使得EA·EB为定值.则EA·EB=(xA-x0,yA)·(xB-x0,yB)=xAxB-x0(xA+xB)+x+yAyB=xAxB-x0(xA+xB)+x+k2(xA-1)(xB-1)=(1+k2)xAxB-(x0+k2)(xA+xB)+x+k2=. EA·EB为定值,∴EA·EB的值与k无关,∴2x-4x0+1=2(x-2),解得x0=,此时EA·EB=-为定值,定点为(,0),当直线的斜率不存在时,也满足EA·EB=-为定值,且定点为(,0).综上,存在点E(,0),使得EA·EB为定值,且定值为-.4.(2019·陕西模拟)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点.[解析](1)如图,设动圆圆心O1(x,y),由题意,|O1A|=|O1M|.当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥MN交MN于H,则H是MN的中点,∴|O1M|=,又|O1A|=,∴=,化简得y2=8x(x≠0).又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+b(b≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=kx+b代入y2=8x中,得k2x2+(2bk-8)x+b2=0.其中Δ=-32kb+64>0.由韦达公式,得x1+x2=,①x1x2=.②因为x轴是∠PBQ的角平分线,所以=-,即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③将①,②代入③得,2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0.∴k=-b,此时Δ>0.∴直线l的方程为y=k(x-1),即直线l过定点(1,0).5.(2019·湖南省湘潭市模拟)已知点F(,0)是椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点,点M(,)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l与椭圆C交于不同的A,B两点,且kOA+kOB=-(O为坐标原点),求直线l斜率的取值范围.[解析](1)解法一:由题可知,椭圆的另一个焦点为(-,0),所以点M到两焦点的距离之和为+=4.所以a=2.又因为c=,所以b=1,则椭圆C的方程为+y2=1.解法二:由题意知,解得,∴椭圆C的方...