第三章导数一．基础题组1.【2006天津，理9】函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A2.【2006天津，理20】已知函数，其中为参数，且．（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．【答案】（1）无极值，（2）（3）【解析】（I）解：当内是增函数，故无极值.（II）解：由（I），只需分下面两种情况讨论.①当>0时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：x0（0，（+0－0+极大值极小值因此，函数在处取得极小值，且要使>0，必有，可得.由于，故（III）解：由（II）知，函数在区间（－∞，0）与（，+∞）内都是增函数.由题设，函数在（内是增函数，则a须满足不等式组由（II），参数时，要使不等式关于参数恒成立，必有综上，解得所以a的取值范围是.3.【2007天津，理20】已知函数R)，其中R.(I)当时，求曲线在点处的切线方程；(II)当时，求函数的单调区间与极值.【答案】(I)(II)(1)当时，函数在处取得极小值且.函数在处取得极大值且.(2)当时，函数在处取得极大值且.函数在处取得极小值且.【解析】(II)解：由于以下分两种情况讨论.(1)当时，令得到当变化时，的变化情况如下表：00极小值极大值所以在区间内为减函数，在区间内为增函数.函数在处取得极小值且.函数在处取得极大值且.4.【2009天津，理20】已知函数f(x)＝(x2+ax－2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R.(1)当a＝0时,求曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;(2)当时,求函数f(x)的单调区间与极值.【答案】（Ⅰ）3e.；（Ⅱ）若,则f(x)在(－∞,－2a),(a－2,+∞)内是增函数,在(－2a,a－2)内是减函数.函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a),且f(－2a)＝3ae－2a.函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2),且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.若a＜,则f(x)在(－∞,a－2),(－2a,+∞)内是增函数,在(a－2,－2a)内是减函数.函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2),且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a),且f(－2a)＝3ae－2a.以下分两种情况讨论.①若,则－2a＜a－2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(－∞,－2a)－2a(－2a,a－2)a－2(a－2,+∞)f′(x)+0－0+f(x)极大值极小值所以f(x)在(－∞,－2a),(a－2,+∞)内是增函数,在(－2a,a－2)内是减函数.函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a),且f(－2a)＝3ae－2a.函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2),且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.②若a＜,则－2a＞a－2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(－∞,a－2)a－2(a－2,－2a)－2a(－2a,+∞)f′(x)+0－0+f(x)极大值极小值所以f(x)在(－∞,a－2),(－2a,+∞)内是增函数,在(a－2,－2a)内是减函数.函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2),且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a),且f(－2a)＝3ae－2a.二．能力题组1.【2008天津，理20】已知函数，其中.（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.【答案】（I）．（II）在，内是增函数，在，内是减函数．（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）解：，由导数的几何意义得，于是．由切点在直线上可得，解得．所以函数的解析式为．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．从而得，所以满足条件的的取值范围是．2.【2010天津，理21】已知函数f(x)＝xe－x(x∈R)．（1）求函数f(x)的单调区间和极值；(2)已知函数y＝g(x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，证明当x＞1时，f(x)＞g(x)；(3)如果x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明x1＋x2＞2.【答案】(1)f(x)在(－∞，1)内是增函数，在(1，＋∞)内是减函数．函数f(x)在x＝1处取得极大值f(1)，且f(1)＝.(2)详见解析(3)详见解析【解析】(1)解：f′(x)＝(1－x)e－x.令f′(x)＝0，解得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－f(x)↗极大值...
