课后作业(二十七)平面向量应用举例一、选择题1．(2013·安庆模拟)若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC一定是()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形2．平面上O，A，B三点不共线，设OA＝a，OB＝b，则△OAB的面积等于()A.B.C.D.3．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝()A．8B．4C．2D．1图4－4－34．(2012·安徽省马鞍山市高三质量检测)如图4－4－3，已知|OA|＝3，|OB|＝1，OA·OB＝0，∠AOP＝，若OP＝tOA＋OB，则实数t等于()A.B.C.D．35．(2013·济南模拟)已知点A(－2，0)，B(0，0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2，则点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线图4－4－46．若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的图象如图4－4－4所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM·ON＝0(O为坐标原点)，则A等于()A.B.πC.πD.π二、填空题7．已知A、B、C是圆x2＋y2＝1上的三点，且OA＋OB＝OC，其中O为坐标原点，则▱OACB的面积等于________．8．在△ABC中，∠A＝，BC＝，向量m＝(－，cosB)，n＝(1，tanB)，且m⊥n，则边AC的长为________．图4－4－59．(2012·湖南高考)如图4－4－5所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则AP·AC＝________．三、解答题10．已知平行四边形ABCD中，M为AB中点，点N在BD上，且BN＝BD，利用向量的方法证明：M、N、C三点共线．11．(2013·厦门模拟)已知点A(2，0)，B(0，2)，C(cosα，sinα)，且0＜α＜π.(1)若|OA＋OC|＝，求OB与OC的夹角；(2)若AC⊥BC，求tanα的值．12．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)．(1)若A、B、C不能构成三角形，求实数m应满足的条件；(2)若△ABC为直角三角形，求实数m的值．解析及答案一、选择题1．【解析】∵|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，∴|CB|＝|AB＋AC|，∴|AB－AC|＝|AB＋AC|，∴AB·AC＝0，即AB⊥AC，从而△ABC是直角三角形．【答案】B2．【解析】∵cos〈a，b〉＝，∴sin〈a，b〉＝＝＝，S△OAB＝|OA||OB|sin〈OA，OB〉＝|a||b|sin〈a，b〉＝.【答案】C3．【解析】BC2＝16，|BC|＝4，又|AB＋AC|＝|AB－AC|，所以AB·AC＝0，所以△ABC为直角三角形．又M为BC的中点，所以|AM|＝|BC|＝2，故选C.【答案】C4．【解析】∵OA·OB＝0，∴∠AOB＝.∵∠AOP＝，∴∠BOP＝.若OP＝tOA＋OB，则OP－OB＝tOA⇒BP＝tOA，∴BP∥OA，在Rt△BOP中，|BP|＝＝|OA|，∴实数t等于.【答案】B5．【解析】PA＝(－2－x，－y)，PB＝(－x，－y)，则PA·PB＝(－2－x)(－x)＋y2＝x2，∴y2＝－2x，故选D.【答案】D6．【解析】∵＝－＝，∴T＝π，∴M(，A)，N(＋，－A)，即(，－A)，又OM·ON＝×＋A·(－A)＝0，∴A＝π.【答案】B二、填空题7．【解析】如图所示，由|OA|＝|OB|＝|OC|＝1知，▱OACB是边长为1的菱形，且∠AOB＝120°.∴其面积为S＝|OA||OB|sin120°＝1×1×＝.【答案】8．【解析】∵m⊥n，∴sinB＝，由正弦定理知＝，∴AC＝＝.【答案】9．【解析】∵AP·AC＝AP·(AB＋BC)＝AP·AB＋AP·BC＝AP·AB＋AP·(BD＋DC)＝AP·BD＋2AP·AB，AP⊥BD，∴AP·BD＝0.∵AP·AB＝|AP||AB|cos∠BAP＝|AP|2，∴AP·AC＝2|AP|2＝2×9＝18.【答案】18三、解答题10．【证明】如图所示，设AB＝a，AD＝b，则MN＝MB＋BN＝AB＋BD＝a＋(AD－AB)＝a＋(b－a)＝a＋b.MC＝MB＋BC＝AB＋AD＝a＋b，所以MC＝3MN，又因为M为公共点，所以M、N、C三点共线．11．【解】(1)因为|OA＋OC|＝，所以(2＋cosα)2＋sin2α＝7，所以cosα＝.又因为α∈(0，π)，所以α＝∠AOC＝.又因为∠AOB＝，所以OB与OC的夹角为.(2)AC＝(cosα－2，sinα)，BC＝(cosα，sinα－2)．因为AC⊥BC，所以AC·BC＝0，所以cosα＋sinα＝，①所以(cosα＋sinα)2＝，所以2sinαcosα＝－.又因为α∈(0，π)，所以α∈(，π)．因为(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝，cosα－sinα＜0，所以cosα－sinα＝－.②由①②得cosα＝，sinα＝，所以tanα＝－.12．【解】(1)由已知得A、B、C三点共线，因为AB＝(3，1)，AC＝(2－m，1－m)，设AB＝λAC，则(3，1)＝λ(2－m，1－m)，.(2)AB＝(3，1)，AC＝(2－m，1－m)，BC＝(－m－1，－m)，当∠A为直角时，AB·AC＝0.即3(2－m)＋1－m＝0⇒m＝；当∠B为直角时，AB·BC＝0，即3(－m－1)＋(－m)＝0⇒m＝－；当∠C为直角时，AC·BC＝0，即(2－m)(－m－1)＋(1－m)·(－m)＝0⇒m＝.综上得m＝或－或时，△ABC为直角三角形．
