（新课标）备战高考数学 “3＋1”保分大题强化练（一）理-人教版高三数学试题VIP免费

“3＋1”保分大题强化练一前3个大题和1个选考题不容有失1．已知函数f(x)＝sin＋cos，x∈[0，π]，设f(x)的最大值为M，记f(x)取得最大值时x的值为θ.(1)求M和θ；(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝2，b＝2，B＝θ，求c的值．解：(1)由已知，得f(x)＝sin＋cos＝sin＋.因为0≤x≤π，所以≤＋≤.所以当＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值，故M＝，θ＝.(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得c2－2×2××c＋(2)2＝(2)2，即c2＋4c－32＝0，解得c＝4或c＝－8(舍去)．故c＝4.2.如图，四棱锥PABCD的底面是平行四边形，PD⊥AB，O是AD的中点，BO＝CO.(1)求证：AB⊥平面PAD；(2)若AD＝2AB＝4，PA＝PD，点M在侧棱PD上，且PD＝3MD，二面角PBCD的大小为45°，求直线BP与平面MAC所成角的正弦值．解：(1)证明：在平行四边形ABCD中，设N是BC的中点，连接ON，因为O是AD的中点，所以AB∥ON.又BO＝CO，所以ON⊥BC，所以AB⊥BC.又在平行四边形ABCD中，BC∥AD，所以AB⊥AD.又AB⊥PD，且PD∩AD＝D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD.(2)由(1)知AB⊥平面PAD，又AB⊂平面ABCD，于是平面PAD⊥平面ABCD，连接PO，PN，由PA＝PD，可得PO⊥AD，则PO⊥BC，又ON⊥BC，PO∩NO＝O，所以BC⊥平面PNO，所以PN⊥BC，故二面角PBCD的平面角为∠PNO，则∠PNO＝45°.由此得PO＝AB＝2.以O为坐标原点，ON，OD，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－2,0)，B(2，－2,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，由PD＝3MD可得M，所以AC＝(2,4,0)，AM＝，BP＝(－2,2,2)．设平面MAC的法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝1，得所以n＝(－2,1，－5)为平面MAC的一个法向量．设直线BP与平面MAC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝，故直线BP与平面MAC所成角的正弦值为.3．2019年夏季毕业的某大学生准备到贵州非私营单位求职，为了了解工资待遇情况，他在贵州省统计局的官网上，查询到2008年至2017年非私营单位在岗职工的年平均工资近似值(单位：万元)，如下表：年份2008200920102011201220132014201520162017序号x12345678910年平均工资y/万元2.52.93.23.84.35.05.56.37.07.5(1)请根据上表的数据，利用线性回归模型进行拟合，求y关于x的线性回归方程y＝bx＋a(a，b的计算结果根据四舍五入精确到小数点后第二位)；(2)如果该大学生对年平均工资的期望值为8.5万元，请利用(1)的结论，预测2019年非私营单位在岗职工的年平均工资(单位：万元．计算结果根据四舍五入精确到小数点后第二位)，并判断2019年平均工资能否达到他的期望．参考数据：iyi＝311.5，＝385，(xi－)(yi－)＝47.5.i12345678910(xi－)220.2512.256.252.250.250.252.256.2512.2520.25附：对于一组具有线性相关的数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b＝＝，a＝－b.解：(1)由已知，得＝5.5，＝4.8.b＝＝≈0.58，所以a＝－b＝4.8－0.58×5.5＝1.61，故y关于x的线性回归方程为y＝0.58x＋1.61.(2)由(1)知y＝0.58x＋1.61，当x＝12时，y＝0.58×12＋1.61＝8.57＞8.5.所以，预测2019年非私营单位在岗职工的年平均工资为8.57万元，达到了他的期望．选考系列(请在下面的两题中任选一题作答)4．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数，0≤β<π)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)已知直线l与曲线C相交于A，B两点，且|OA|－|OB|＝2，求β.解：(1)由曲线C的参数方程可得其普通方程为(x－2)2＋y2＝3，即x2＋y2－4x＋1＝0，所以曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＋1＝0.(2)由直线l的参数方程可得直线l的极坐标方程为θ＝β(ρ∈R)．因为直线l与曲线C相交于A，B两点，所以设A(ρ1，β)，B(ρ2，β)(ρ1>ρ2)，联立得可得ρ2－4ρcosβ＋1＝0，因为Δ＝16cos2β－4>0，所以cos2β>，所以|OA|－|OB|＝ρ1－ρ2＝＝＝2，解得cosβ＝±，所以β＝或.5．[选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|2x－1|.(1)解不等式f(x)＋f(x＋1)≥4；(2)当x≠0，x∈R时，证明：f(－x)＋f≥4.解：(1)不等式f(x)＋f(x＋1)≥4等价于|2x－1|＋|2x＋1|≥4，等价于或或解得x≤－1或x≥1，所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)证明：当x≠0，x∈R时，f(－x)＋f＝|－2x－1|＋，因为|－2x－1|＋≥＝2|x|＋≥4，当且仅当即x＝±1时等号成立，所以f(－x)＋f≥4.