第14讲高考中的立体几何题型一|空间位置关系的证明(2016·江苏高考)如图14－1，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.图14－1求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.[解题指导](1)DE是△ABC的中位线――→DE∥AC――→DE∥A1C1DE∥平面A1C1F(2)A1C1⊥A1B1―――――→A1C1⊥平面ABB1A1―→A1C1⊥B1D――→B1D⊥平面A1C1F―→平面B1DE⊥平面A1C1F[证明](1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.2分又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.4分(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.6分又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.8分因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.10分又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.12分因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.14分【名师点评】1.正确并熟练掌握空间中平行与垂直的判定定理与性质定理，是进行判断和证明的基础；证明面面平行、垂直时，常转化为线面的平行与垂直，再转化为线线的平行与垂直．2．证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用．1．(2016·苏锡常镇调研一)如图14－2，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，M是棱AD的中点，N是棱PC的中点．图14－2(1)求证：MN∥平面PAB；(2)若平面PMC⊥平面PAD，求证：CM⊥AD.[证明](1)取PB中点E，连结EA，EN，NM，在△PBC中，EN∥BC且EN＝BC，又AM＝AD，AD∥BC，AD＝BC，得EN∥AM，EN＝AM，∴四边形ENMA是平行四边形，4分得MN∥AE，MN⊄平面PAB，AE⊂平面PAB，∴MN∥平面PAB.6分(2)过点A作PM的垂线，垂足为H. 平面PMC⊥平面PAD，平面PMC∩平面PAD＝PM，AH⊥PM，AH⊂平面PAD，∴AH⊥平面PMC， CM⊂平面PMC，∴AH⊥CM.12分 PA⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD，∴PA⊥CM. PA∩AH＝A，PA，AH⊂平面PAD，∴CM⊥平面PAD. AD⊂平面PAD，∴CM⊥AD.14分2．如图14－3，在四棱锥P－ABCD中，已知底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，点E为棱PD的中点．求证：图14－3(1)PB∥平面EAC；(2)平面PAD⊥平面ABCD.[证明](1)连结BD与AC相交于点O，连结OE.因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点.3分因为E为棱PD中点，所以PB∥OE.因为PB⊄平面EAC，OE⊂平面EAC，所以直线PB∥平面EAC.6分(2)因为PA⊥平面PDC，CD⊂平面PDC，所以PA⊥CD.因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD.10分因为PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.因为CD⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.14分3．如图14－4，正三棱柱ABC－A1B1C1，点D，E分别是A1C，AB的中点．图14－4(1)求证：DE∥平面BB1C1C；(2)若AB＝BB1，求证：A1B⊥平面B1CE.[证明](1)连结AC1，BC1，因为AA1C1C是矩形，D是A1C的中点，所以D是AC1的中点.3分在△ABC1中，因为D，E分别是AC1，AB的中点，所以DE∥BC1.因为DE⊄平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，所以DE∥平面BB1C1C.6分(2)因为△ABC是正三角形，E是AB的中点．所以CE⊥AB.又因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面ABB1A1，交线为AB，所以CE⊥平面ABB1A1，从而CE⊥A1B.在矩形ABB1A1中，因为＝＝，所以Rt△A1B1B∽Rt△B1BE，12分从而∠B1A1B＝∠BB1E，因此∠B1A1B＋∠A1B1E＝∠BB1E＋∠A1B1E＝90°，所以A1B⊥B1E.又因为CE，B1E⊂平面B1CE，CE∩B1E＝E，所以A1B⊥平面B1CE.14分题型二|空间几何体的体积计算如图14－5，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．图14－5(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D－BCG的体积．附：锥体的体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高．【导学号：19592044】[解](1)证明：由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC.2分又G为AD的中点，所以CG⊥AD.3分同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BGC.5分又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.7分(2)在平面ABC...
