专题7选修系列4部分第23讲选修4－1：几何证明选讲题型一|相似三角形的判定与性质图23－1(2016·江苏高考)如图23－1，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点．求证：∠EDC＝∠ABD.[证明]在△ADB和△ABC中，因为∠ABC＝90°，BD⊥AC，∠A为公共角，所以△ADB∽△ABC，5分于是∠ABD＝∠C.7分在Rt△BDC中，因为E是BC的中点，所以ED＝EC，从而∠EDC＝∠C.9分所以∠EDC＝∠ABD.10分【名师点评】判定两个三角形相似的几种方法：(1)两角对应相等，两三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(3)三边对应成比例，两三角形相似；(4)相似三角形的定义．1．如图23－2，在▱ABCD中，E是DC边的中点，AE交BD于O，S△DOE＝9cm2，则求△AOB的面积．图23－2[解] 在▱ABCD中，AB∥DE，∴△AOB∽△EOD，3分∴＝2.5分 E是CD的中点，∴DE＝CD＝AB，7分则＝2，∴＝22＝4，9分∴S△AOB＝4S△DOE＝4×9＝36(cm2).10分2．如图23－3，BD，CE是△ABC的高．求证：ADE∽△ABC.图23－3[证明] BD，CE是△ABC的高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°.2分又 ∠A＝∠A，∴△AEC∽△ADB，5分∴＝.7分又 ∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.10分题型二|与圆有关的比例线段问题如图23－4，PA为圆O的切线，A为切点，PBC为经过圆心O的割线，若PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和圆O分别交于D，E，求AD·AE的值．图23－4[解]连结CE，由切割线定理知，PA2＝PB·PC.1分 PA＝10，PB＝5，∴PC＝20，CB＝15.2分又 PA为圆O的切线，∴∠PAB＝∠ACP，∠P＝∠P，∴△PAB∽△PCA，4分∴＝＝.①5分又BC为直径，∴∠CAB为直角，∴AC2＋AB2＝BC2＝225，②6分由①②得AC＝6，AB＝3.7分又AE平分∠BAC，∴∠EAB＝∠CAE，∠ABC＝∠E，8分∴△ACE∽△ADB，∴＝.∴AD·AE＝AB·AC＝3·6＝90.10分【名师点评】(1)圆中线段长度成比例的问题，要结合切割线定理、相交弦定理，构造比例关系．(2)利用相似关系求解线段长度要灵活地在三角形中对条件进行转化或等比替换．1．(2016·苏锡常镇二模)已知△ABC内接于⊙O，BE是⊙O的直径，AD是BC边上的高．求证：BA·AC＝BE·AD.图23－5[证明]连结AE.1分 BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°.3分∴∠BAE＝∠ADC.5分又 ∠BEA＝∠ACD，∴△BEA∽△ACD.8分∴＝，∴BA·AC＝BE·AD.10分2．如图23－6，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D.连结CF交AB于点E.求证：DE2＝DB·DA.图23－6[证明]连结OF.因为DF切⊙O于F，所以∠OFD＝90°.2分所以∠OFC＋∠CFD＝90°.因为OC＝OF，所以∠OCF＝∠OFC.5分因为CO⊥AB于O，所以∠OCF＋∠CEO＝90°.所以∠CFD＝∠CEO＝∠DEF，所以DF＝DE.8分因为DF是⊙O的切线，所以DF2＝DB·DA.所以DE2＝DB·DA.10分题型三|圆内接四边形的判定及性质定理的应用如图23－7，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．图23－7(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．【导学号：19592065】[解](1)证明：连结DE，根据题意知，在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即＝.2分又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB.3分因此∠ADE＝∠ACB，所以∠ADE＋∠EDB＝∠ACB＋∠EDB＝180°，所以C，B，D，E四点共圆.5分(2)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12.故AD＝2，AB＝12.7分取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连结DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC.从而HF＝AG＝5，DF＝×(12－2)＝5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5.10分【名师点评】判定四点共圆的方法1．如果四个点到一定点的距离相等，那么这四个点共圆．2．如果一个四边形的一组对角互补，那么这四个点共圆．3．如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形四个顶点共圆．4．如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且都在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．如图23－8，AB为圆O的直...
