专题7选修系列4部分第23讲选修4－1：几何证明选讲题型一|相似三角形的判定与性质图23－1(2016·江苏高考)如图23－1，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点．求证：∠EDC＝∠ABD
[证明]在△ADB和△ABC中，因为∠ABC＝90°，BD⊥AC，∠A为公共角，所以△ADB∽△ABC，5分于是∠ABD＝∠C
7分在Rt△BDC中，因为E是BC的中点，所以ED＝EC，从而∠EDC＝∠C
9分所以∠EDC＝∠ABD
10分【名师点评】判定两个三角形相似的几种方法：(1)两角对应相等，两三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(3)三边对应成比例，两三角形相似；(4)相似三角形的定义．1．如图23－2，在▱ABCD中，E是DC边的中点，AE交BD于O，S△DOE＝9cm2，则求△AOB的面积．图23－2[解] 在▱ABCD中，AB∥DE，∴△AOB∽△EOD，3分∴＝2
5分 E是CD的中点，∴DE＝CD＝AB，7分则＝2，∴＝22＝4，9分∴S△AOB＝4S△DOE＝4×9＝36(cm2)
10分2．如图23－3，BD，CE是△ABC的高．求证：ADE∽△ABC
图23－3[证明] BD，CE是△ABC的高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°
2分又 ∠A＝∠A，∴△AEC∽△ADB，5分∴＝
7分又 ∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC
10分题型二|与圆有关的比例线段问题如图23－4，PA为圆O的切线，A为切点，PBC为经过圆心O的割线，若PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和圆O分别交于D，E，求AD·AE的值．图23－4[解]连结CE，由切割线定理知，PA2＝PB·PC
1分 PA＝10，PB＝5，∴PC＝20，CB＝15
2分又 PA为圆O的切线，∴∠PAB＝∠ACP，∠P＝∠P，∴△PAB∽△PCA，4分∴＝
