专题强化训练(十八)立体几何一、选择题1．[2019·石家庄一模]已知三棱锥P－ABC中，PC⊥AB，△ABC是边长为2的正三角形，PB＝4，∠PBC＝60°；(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；(2)设F为棱PA的中点，求二面角P－BC－F的余弦值．解：(1)在△PBC中，∠PBC＝60°，BC＝2，PB＝4，由余弦定理可得PC＝2，∴PC2＋BC2＝PB2，∴PC⊥BC，又PC⊥AB，AB∩BC＝B，∴PC⊥平面ABC， PC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.(2)解法一：在平面ABC中，过点C作CM⊥CA，以CA，CM，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系C－xyz.则C(0,0,0)，P(0,0,2)，A(2,0,0)，B(1，，0)，F(1,0，)．设平面PBC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则取y1＝－1，则x1＝，z1＝0，即m＝(，－1,0)为平面PBC的一个法向量．设平面BCF的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则取x2＝，则y2＝－1，z2＝－1，即n＝(，－1，－1)为平面BCF的一个法向量，|cos〈m，n〉|＝＝＝，由题图可知二面角P－BC－F为锐角，∴二面角P－BC－F的余弦值为.解法二：由(1)可知PC⊥平面ABC，又PC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABC，∴二面角P－BC－F的余弦值就是二面角A－BC－F的正弦值，作FM⊥AC于点M，则FM⊥平面ABC，作MN⊥BC于点N，连接FN，则FN⊥BC，∴∠FNM为二面角A－BC－F的平面角． 点F为PA的中点，∴点M为AC的中点，在Rt△FMN中，FM＝PC＝，MN＝，∴FN＝，∴sin∠FNM＝＝，∴二面角P－BC－F的余弦值为.2．[2019·郑州质量预测二]如图，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，平面ABEF⊥平面ABC,2AF＝AB＝BE，∠FAB＝60°，AF∥BE.(1)求证：BC⊥BF；(2)求二面角F－CE－B的正弦值．解：(1)等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，即BC⊥AB，又平面ABC⊥平面ABEF，平面ABC∩平面ABEF＝AB，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ABEF，又BF⊂平面ABEF，∴BC⊥BF.(2)由(1)知BC⊥平面ABEF，故建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，设AF＝1，则由已知可得B(0,0,0)，C(0,2,0)，F，E(－1,0，)，EC＝(1,2，－)，EF＝，BC＝(0,2,0)，设平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)，则有⇒令x＝，则z＝5，y＝2，即n＝(，2，5)为平面CEF的一个法向量．设平面BCE的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则有⇒∴y1＝0，x1＝z1，令x1＝，则m＝(，0,1)为平面BCE的一个法向量．设二面角F－CE－B的平面角为θ，则|cosθ|＝|＝＝，∴sinθ＝，∴二面角F－CE－B的正弦值为.3．[2019·太原一模]如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，四边形CDEF是菱形，∠DCF＝60°，CD＝2AD＝2AB，AE＝AD.(1)证明：CE⊥AF；(2)已知点P在线段BC上，且CP＝λCB，若二面角A－DF－P的大小为60°，求实数λ的值．解：(1) 四边形CDEF是菱形，∴DE＝CD＝2AD，CE⊥DF， AE＝AD，∴AE2＝5AD2＝AD2＋DE2，∴AD⊥DE， AD⊥CD，∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥CE，DF∩AD＝D.∴CE⊥平面ADF，AF⊂平面ADF，∴CE⊥AF.(2)由(1)知以D为坐标原点，DA的方向为x轴的正方向，|DA|为单位长度，DC的方向为y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，由题设可知D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，E(0，－1，)，F(0,1，)，∴DF＝(0,1，)，CP＝λCB＝(λ，－λ，0)，∴DP＝DC＋CP＝(λ，2－λ，0)，设m＝(x，y，z)是平面DFP的法向量，则，∴，令z＝－1，则，∴m＝为平面DFP的一个法向量．由(1)可知CE＝(0，－3，)是平面ADF的一个法向量， 二面角A－DF－P的大小为60°，∴cos60°＝|＝＝，∴λ＝.4．[2019·洛阳统考]如图1，平面多边形PABCD中，PA＝PD，AD＝2DC＝2BC＝4，AD∥BC，AP⊥PD，AD⊥DC，E为PD的中点，现将△APD沿AD折起，如图2，使PC＝2.图1图2(1)证明：CE∥平面ABP；(2)求直线AE与平面ABP所成角的正弦值．解：(1)取PA的中点H，连接HE，BH，如图． E为PD的中点，∴HE为△APD的中位线，∴HE∥AD，且AE＝AD.又AD∥BC，BC＝AD，∴HE∥BC，HE＝BC，∴四边形BCEH为平行四边形，∴CE∥BH. BH⊂平面ABP，CE⊄平面ABP，∴CE∥平面ABP.(2)由题意知△PAD为等腰直角三角形，四边形ABCD为直角梯形．取AD的中点F，连接BF，PF， AD＝2BC＝4，∴平面多边形PABCD中，P，F，B三点共线，且PF＝BF＝2，∴翻折后，PF⊥AD，BF⊥AD，PF∩BF＝F，∴DF...
