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(江苏专用)高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第5练 如何用好基本不等式 理VIP免费

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第5练如何用好基本不等式题型一利用基本不等式求解最大值、最小值问题例1(1)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最小值时,x+2y-z的最大值为________.(2)函数y=的最大值为________.破题切入点(1)利用基本不等式确定取得最小值时x,y,z之间的关系,进而可求得x+2y-z的最大值.(2)可采用换元法,将函数解析式进行变形,利用基本不等式求解最值.答案(1)2(2)解析(1)==+-3≥2-3=1,当且仅当x=2y时等号成立,因此z=4y2-6y2+4y2=2y2,所以x+2y-z=4y-2y2=-2(y-1)2+2≤2.(2)令t=≥0,则x=t2+1,所以y==.当t=0,即x=1时,y=0;当t>0,即x>1时,y=,因为t+≥2=4(当且仅当t=2时取等号),所以y=≤,即y的最大值为(当t=2,即x=5时y取得最大值).题型二利用基本不等式求最值的综合性问题例2如图所示,在直角坐标系xOy中,点P(1,)到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB的中点Q(m,n)在直线OM上.(1)求曲线C的方程及t的值;(2)记d=,求d的最大值.破题切入点(1)依条件,构建关于p,t的方程;(2)建立直线AB的斜率k与线段AB中点坐标间的关系,并表示弦AB的长度,运用函数的性质或基本不等式求d的最大值.解(1)y2=2px(p>0)的准线x=-,∴1-(-)=,p=,∴抛物线C的方程为y2=x.又点M(t,1)在曲线C上,∴t=1.(2)由(1)知,点M(1,1),从而n=m,即点Q(m,m),依题意,直线AB的斜率存在,且不为0,设直线AB的斜率为k(k≠0).且A(x1,y1),B(x2.y2),由得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,故k·2m=1,所以直线AB的方程为y-m=(x-m),即x-2my+2m2-m=0.由消去x,整理得y2-2my+2m2-m=0,所以Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1y2=2m2-m.从而|AB|=·|y1-y2|=·=2∴d==2≤m+(1-m)=1,当且仅当m=1-m,即m=时,上式等号成立.又m=满足Δ=4m-4m2>0,∴d的最大值为1.总结提高(1)利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时,注意观察其是否具有“和为定值”或“积为定值”的结构特点.在具体题目中,一般很少直接考查基本不等式的应用,而是需要将式子进行变形,寻求其中的内在关系,然后利用基本不等式求出最值.(2)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”,所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.若连续使用基本不等式求最值,必须保证两次等号成立的条件一致,否则最值就取不到.1.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a=0,∴v>a.2.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=________.答案3解析 x>2,∴f(x)=x+=x-2++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时等号成立,即a=3,f(x)min=4.3.(2014·南通模拟)设a>0,b>0,若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为________.答案4解析因为3a·3b=3,所以a+b=1.+=(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当=,即a=b=时等号成立.4.已知m=a+(a>2),n=x-2(x≥),则m与n之间的大小关系为________.答案m≥n解析m=a+=(a-2)++2≥4(a>2),当且仅当a=3时,等号成立.由x≥得x2≥,∴n=x-2=≤4即n∈(0,4],∴m≥n.5.已知正数x,y满足x+2≤λ(x+y)恒成立,则实数λ的最小值为________.答案2解析 x>0,y>0,∴x+2y≥2(当且仅当x=2y时取等号).又由x+2≤λ(x+y)可得λ≥,而≤=2,∴当且仅当x=2y时,max=2.∴λ的最小值为2.6.已知a>0,b>0,若不等式--≤0恒成立,则m的最大值为________.答案16解析因为a>0,b>0,所以由--≤0恒成立得m≤(+)(3a+b)=10++恒成立.因为+≥2=6,当且仅当a=b时等号成立,所以10++≥16,所以m≤16,即m的最大值为16.7.若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是________.答案18解析 x>0,y>0,2x+y+6=xy,∴2+6≤xy,即xy-2-6≥0,解得xy≥18.∴xy的最小值是18.8.已知a>0,b>0,函数f(x)=x2...

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