（江苏专用）高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第5练 如何用好基本不等式 理VIP免费

第5练如何用好基本不等式题型一利用基本不等式求解最大值、最小值问题例1(1)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为________．(2)函数y＝的最大值为________．破题切入点(1)利用基本不等式确定取得最小值时x，y，z之间的关系，进而可求得x＋2y－z的最大值．(2)可采用换元法，将函数解析式进行变形，利用基本不等式求解最值．答案(1)2(2)解析(1)＝＝＋－3≥2－3＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2.(2)令t＝≥0，则x＝t2＋1，所以y＝＝.当t＝0，即x＝1时，y＝0；当t>0，即x>1时，y＝，因为t＋≥2＝4(当且仅当t＝2时取等号)，所以y＝≤，即y的最大值为(当t＝2，即x＝5时y取得最大值)．题型二利用基本不等式求最值的综合性问题例2如图所示，在直角坐标系xOy中，点P(1，)到抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上．(1)求曲线C的方程及t的值；(2)记d＝，求d的最大值．破题切入点(1)依条件，构建关于p，t的方程；(2)建立直线AB的斜率k与线段AB中点坐标间的关系，并表示弦AB的长度，运用函数的性质或基本不等式求d的最大值．解(1)y2＝2px(p>0)的准线x＝－，∴1－(－)＝，p＝，∴抛物线C的方程为y2＝x.又点M(t,1)在曲线C上，∴t＝1.(2)由(1)知，点M(1,1)，从而n＝m，即点Q(m，m)，依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的斜率为k(k≠0)．且A(x1，y1)，B(x2.y2)，由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，故k·2m＝1，所以直线AB的方程为y－m＝(x－m)，即x－2my＋2m2－m＝0.由消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0，所以Δ＝4m－4m2>0，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m.从而|AB|＝·|y1－y2|＝·＝2∴d＝＝2≤m＋(1－m)＝1，当且仅当m＝1－m，即m＝时，上式等号成立．又m＝满足Δ＝4m－4m2>0，∴d的最大值为1.总结提高(1)利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时，注意观察其是否具有“和为定值”或“积为定值”的结构特点．在具体题目中，一般很少直接考查基本不等式的应用，而是需要将式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式求出最值．(2)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”，所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续使用基本不等式求最值，必须保证两次等号成立的条件一致，否则最值就取不到．1．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＝0，∴v>a.2．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________.答案3解析 x>2，∴f(x)＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立，即a＝3，f(x)min＝4.3．(2014·南通模拟)设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为________．答案4解析因为3a·3b＝3，所以a＋b＝1.＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立．4．已知m＝a＋(a>2)，n＝x－2(x≥)，则m与n之间的大小关系为________．答案m≥n解析m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥4(a>2)，当且仅当a＝3时，等号成立．由x≥得x2≥，∴n＝x－2＝≤4即n∈(0,4]，∴m≥n.5．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．答案2解析 x>0，y>0，∴x＋2y≥2(当且仅当x＝2y时取等号)．又由x＋2≤λ(x＋y)可得λ≥，而≤＝2，∴当且仅当x＝2y时，max＝2.∴λ的最小值为2.6．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为________．答案16解析因为a>0，b>0，所以由－－≤0恒成立得m≤(＋)(3a＋b)＝10＋＋恒成立．因为＋≥2＝6，当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值为16.7．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．答案18解析 x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，∴2＋6≤xy，即xy－2－6≥0，解得xy≥18.∴xy的最小值是18.8．已知a>0，b>0，函数f(x)＝x2...