第8练函数性质在运用中的巧思妙解题型一直接考查函数的性质例1“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的________条件.破题切入点首先找出f(x)在(0,+∞)递增的等价条件,然后从集合的观点来研究充要条件.答案充要解析当a=0时,f(x)=|(ax-1)x|=|x|在区间(0,+∞)上单调递增;当a<0时,结合函数f(x)=|(ax-1)x|=|ax2-x|的图象知函数在(0,+∞)上单调递增,如图(1)所示;当a>0时,结合函数f(x)=|(ax-1)x|=|ax2-x|的图象知函数在(0,+∞)上先增后减再增,不符合条件,如图(2)所示.所以,要使函数f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)上单调递增只需a≤0.即“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的充要条件.题型二函数性质与其他知识结合考查例2函数y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,…,xn,使得==…=,则n的取值范围为________.破题切入点从已知的比值相等这一数量关系出发,找图象上的表示形式,再找与原函数图象的关系,进一步判断出结果.答案{2,3,4}解析过原点作直线与函数y=f(x)的图象可以有两个、三个、四个不同的交点,因此n的取值范围是{2,3,4}.题型三对函数性质的综合考查例3已知函数f(x)=x2+alnx.(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调递减区间;(2)若函数g(x)=f(x)+在[1,+∞)上单调,求实数a的取值范围.破题切入点(1)直接根据f′(x)<0确定单调递减区间.(2)g(x)在[1,+∞)上单调,则g′(x)≥0或g′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立.解(1)由题意知,函数的定义域为(0,+∞),当a=-2时,f′(x)=2x-=,故f(x)的单调递减区间是(0,1).(2)由题意得g′(x)=2x+-,函数g(x)在[1,+∞)上是单调函数.①若g(x)为[1,+∞)上的单调增函数,则g′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≥-2x2在[1,+∞)上恒成立,设φ(x)=-2x2, φ(x)在[1,+∞)上单调递减,∴φ(x)max=φ(1)=0,∴a≥0.②若g(x)为[1,+∞)上的单调减函数,则g′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,不可能.∴实数a的取值范围为[0,+∞).总结提高(1)函数单调性的等价结论:设x1、x2∈[a,b]则(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a,b]上递增.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a,b]上递减.(2)判断单调性时还可根据四则运算法则:若f(x)和g(x)都是增函数,则f(x)+g(x)也是增函数,-f(x)是减函数,复合函数单调性根据内函数和外函数同增异减的法则.(3)求函数的单调性问题还可以求导.(4)函数奇偶性的前提是定义域关于原点对称.(5)任何一个函数都可以写成一个奇函数加上一个偶函数.如f(x)=+,为偶函数,而为奇函数.(6)求函数的单调性要注意先研究定义域.1.已知函数f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=-a,则f(log3)=________.答案解析由题意,可知函数f(x)为奇函数,所以f(0)=-a=0,解得a=,所以当x≥0时,f(x)=-.所以f(log32)=-=-=-.从而f(log3)=f(-log32)=-f(log32)=.2.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)=________.答案337解析 f(x+6)=f(x),∴T=6. 当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3时,f(x)=x,∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1,∴f(1)+f(2)+…+f(6)=f(7)+f(8)+…+f(12)=…=f(2005)+f(2006)+…+f(2010)=1,∴f(1)+f(2)+…+f(2010)=1×=335.而f(2011)+f(2012)+f(2013)=f(1)+f(2)+f(3)=2,∴f(1)+f(2)+…+f(2013)=335+2=337.3.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意的x∈[-2-,2+],不等式f(x+t)≤2f(x)恒成立,则实数t的取值范围是________.答案(-∞,-]解析设x<0,则-x>0.f(-x)=(-x)2,又 f(x)是奇函数,∴f(x)=-x2.∴f(x)在R上为增函数,且2f(x)=f(x).∴f(x+t)≤2f(x)=f(x)⇔x+t≤x在[-2-,2+]上恒成立, x+t≤x⇔(-1)x≥t,要使原不等式恒成立,只需(-1)(-2-)≥t⇒t≤...