（江苏专用）高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第8练 函数性质在运用中的巧思妙解 理VIP免费

第8练函数性质在运用中的巧思妙解题型一直接考查函数的性质例1“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的________条件．破题切入点首先找出f(x)在(0，＋∞)递增的等价条件，然后从集合的观点来研究充要条件．答案充要解析当a＝0时，f(x)＝|(ax－1)x|＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；当a>0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0.即“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的充要条件．题型二函数性质与其他知识结合考查例2函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，则n的取值范围为________．破题切入点从已知的比值相等这一数量关系出发，找图象上的表示形式，再找与原函数图象的关系，进一步判断出结果．答案{2,3,4}解析过原点作直线与函数y＝f(x)的图象可以有两个、三个、四个不同的交点，因此n的取值范围是{2,3,4}．题型三对函数性质的综合考查例3已知函数f(x)＝x2＋alnx.(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若函数g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围．破题切入点(1)直接根据f′(x)<0确定单调递减区间．(2)g(x)在[1，＋∞)上单调，则g′(x)≥0或g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立．解(1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，当a＝－2时，f′(x)＝2x－＝，故f(x)的单调递减区间是(0,1)．(2)由题意得g′(x)＝2x＋－，函数g(x)在[1，＋∞)上是单调函数．①若g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x)＝－2x2， φ(x)在[1，＋∞)上单调递减，∴φ(x)max＝φ(1)＝0，∴a≥0.②若g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能．∴实数a的取值范围为[0，＋∞)．总结提高(1)函数单调性的等价结论：设x1、x2∈[a，b]则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上递增．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上递减．(2)判断单调性时还可根据四则运算法则：若f(x)和g(x)都是增函数，则f(x)＋g(x)也是增函数，－f(x)是减函数，复合函数单调性根据内函数和外函数同增异减的法则．(3)求函数的单调性问题还可以求导．(4)函数奇偶性的前提是定义域关于原点对称．(5)任何一个函数都可以写成一个奇函数加上一个偶函数．如f(x)＝＋，为偶函数，而为奇函数．(6)求函数的单调性要注意先研究定义域．1．已知函数f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－a，则f(log3)＝________.答案解析由题意，可知函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝－a＝0，解得a＝，所以当x≥0时，f(x)＝－.所以f(log32)＝－＝－＝－.从而f(log3)＝f(－log32)＝－f(log32)＝.2．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2013)＝________.答案337解析 f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6. 当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2005)＋f(2006)＋…＋f(2010)＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2010)＝1×＝335.而f(2011)＋f(2012)＋f(2013)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝335＋2＝337.3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意的x∈[－2－，2＋]，不等式f(x＋t)≤2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是________．答案(－∞，－]解析设x<0，则－x>0.f(－x)＝(－x)2，又 f(x)是奇函数，∴f(x)＝－x2.∴f(x)在R上为增函数，且2f(x)＝f(x)．∴f(x＋t)≤2f(x)＝f(x)⇔x＋t≤x在[－2－，2＋]上恒成立， x＋t≤x⇔(－1)x≥t，要使原不等式恒成立，只需(－1)(－2－)≥t⇒t≤...