第10练化解抽象函数快捷有效的几个途径题型一与抽象函数有关的函数性质问题例1已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件．破题切入点周期函数的概念，同时考查单调性及充要条件．答案充要解析① f(x)在R上是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称． f(x)为[0,1]上的增函数，∴f(x)为[－1,0]上的减函数．又 f(x)的周期为2，∴f(x)为区间[－1＋4,0＋4]＝[3,4]上的减函数．② f(x)为[3,4]上的减函数，且f(x)的周期为2，∴f(x)为[－1,0]上的减函数．又 f(x)在R上是偶函数，∴f(x)为[0,1]上的增函数．由①②知“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件．题型二与抽象函数有关的函数零点问题例2设函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0，则方程f(x)＝0在闭区间[－2011,2011]上的根的个数为________．破题切入点将条件转化为我们所熟悉的知识．答案805解析f(7－x)＝f(7＋x)＝f(2＋(5＋x))＝f(2－(5＋x))＝f(－3－x)，即f(x＋10)＝f(x)，所以函数的周期为10，且对称轴为x＝2，x＝7，在[0,10]内，f(1)＝f(3)＝f(11)＝f(13)，所以一个周期内只有2个零点，在[0,2011]内2011＝201×10＋1有201×2＋1＝403个，在[－2011,0]内－2011＝201×(－10)－1，有201个周期且f(－1)≠0，此时有201×2＝402个零点，合计805.题型三与抽象函数有关的新概念问题例3设V是全体平面向量构成的集合．若映射f：V→R满足：对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，则称映射f具有性质P，现给出如下映射：①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V；③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.其中，具有性质P的映射为________．(写出所有具有性质P的映射的序号)破题切入点准确把握性质P的含义．答案①③解析a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λa＋(1－λ)b＝(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2)．对于①， f1(m)＝x－y，∴f(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]－[λy1＋(1－λ)·y2]＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)，而λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)，∴f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，∴①具有性质P.对于②，f2(m)＝x2＋y，设a＝(0,0)，b＝(1,2)，λa＋(1－λ)b＝(1－λ，2(1－λ))，f(λa＋(1－λ)b)＝(1－λ)2＋2(1－λ)＝λ2－4λ＋3，而λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(02＋0)＋(1－λ)(12＋2)＝3(1－λ)，又λ是任意实数，∴f(λa＋(1－λ)b)≠λf(a)＋(1－λ)f(b)，故②不具有性质P.对于③，f3(m)＝x＋y＋1，f(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]＋[λy1＋(1－λ)y2]＋1＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋1，又λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1)＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋λ＋(1－λ)＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋1，∴f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)．∴③具有性质P.综上，具有性质P的映射的序号为①③.总结提高(1)让抽象函数不再抽象的方法主要是赋值法和单调函数法，因此学会赋值、判断并掌握函数单调性和奇偶性是必须过好的两关，把握好函数的性质．(2)解答抽象函数问题时，学生往往盲目地用指数、对数函数等来代替函数来解答问题而导致出错，要明确抽象函数是具有某些性质的一类函数而不是具体的某一个函数，因此掌握这类函数的关键是把握函数的性质以及赋值的方法．1．设f(x)为偶函数，对于任意的x>0，都有f(2＋x)＝－2f(2－x)，已知f(－1)＝4，那么f(－3)＝________.答案－8解析 f(x)为偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝4，f(－3)＝f(3)，当x＝1时，f(2＋1)＝(－2)·f(2－1)，∴f(3)＝(－2)×4＝－8，∴f(－3)＝－8.2．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的________条件．答案必要不充分解析若函数y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)．此时|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，因此y＝|f(x)|是偶函数，其图象关于y轴对称，但当y＝|f(x)|的图象关于y轴对...
