第11练寻图有道，破解有方——函数的图象问题题型一对函数图象的直接考查例1函数y＝的图象大致是________．破题切入点从函数定义域入手，考虑函数变化趋势，借助特殊值．答案③解析由3x－1≠0得x≠0，∴函数y＝的定义域为{x|x≠0}，可排除①；当x＝－1时，y＝＝>0，可排除②；当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝，但从④的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除④.故③符合要求．题型二对函数零点的考查例2已知函数f(x)满足f(x)＝f()，当x∈[1,3]时，f(x)＝lnx．若在区间[，3]内，函数g(x)＝f(x)－ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________．破题切入点求出f(x)在[，3]上的解析式，数形结合解决．答案[，)解析由题意可知当x在区间[，1]内时，∈[1,3]，f(x)＝f()＝ln＝－lnx，则f(x)＝函数g(x)＝f(x)－ax与x轴有三个不同的交点，即f(x)－ax＝0有三个不同的根，即f(x)＝ax有三个不同的根，即函数f(x)的图象与直线y＝ax有三个不同的交点，当x在区间[，1)上时，函数f(x)的图象与直线y＝ax有一个交点，当x∈[1,3]时，函数f(x)的图象与直线y＝ax有两个交点．当直线y＝ax过点(3，ln3)时，a的值满足ln3＝3a，即a＝；当直线y＝ax与f(x)相切时，设切点为(x0，lnx0)，则点(x0，lnx0)在直线上，故lnx0＝ax0，而a＝(lnx)′|＝，所以lnx0＝1，x0＝e，即a＝＝，函数f(x)的图象与直线y＝ax有三个不同的交点，则a的取值范围是[，)．题型三综合考查函数图象例3已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)·x＋ax，且g(x)在区间[0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．破题切入点(1)根据对称性求f(x)的解析式，考查函数图象的对称变换．(2)求出g(x)的解析式，根据二次函数求字母a的取值范围．解(1) f(x)的图象与h(x)的图象关于点A(0,1)对称，设f(x)图象上任意一点坐标为B(x，y)，其关于A(0,1)的对称点为B′(x′，y′)，则∴ B′(x′，y′)在h(x)上，∴y′＝x′＋＋2.∴2－y＝－x－＋2，∴y＝x＋，即f(x)＝x＋.(2) g(x)＝x2＋ax＋1，又g(x)在[0,2]上为减函数，∴－≥2，即a≤－4.∴a的取值范围为(－∞，－4]．总结提高(1)求函数图象时首先考虑函数定义域，然后考虑特殊值以及函数变化趋势，特殊值首先考虑坐标轴上的点．(2)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质．(3)在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质，透过函数的图象要看到它所反映的函数的性质，并以此为依据进行分析、推断，才是正确的做法．(4)在解决综合问题时，图象只能作为分析工具而不能作为解题过程，在应用过程中要使图象尽量准确．1．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是________．答案(－3,1)∪(3，＋∞)解析画出分段函数的图象如图，令f(x)＝f(1)，得x＝－3,1,3.所以当f(x)>f(1)时，必有x∈(－3,1)∪(3，＋∞)．2．已知函数y＝，将其图象向左平移a(a>0)个单位，再向下平移b(b>0)个单位后图象过坐标原点，则ab的值为________．答案1解析图象平移后的函数解析式为y＝－b，由题意知－b＝0，∴ab＝1.3．(2014·山东改编)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．答案(，1)解析先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为(，1)．4．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f()的值为________．答案2解析由图象知f(3)＝1，∴＝1，∴f()＝f(1)＝2.5．(2014·湖北改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为________．答案[－，]解析因为当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，所以当0≤x≤a2时，f(x)＝(a2－x＋2a2－x－3a2)＝－x；当a2
