第15练导数与单调性题型一利用导数求函数的单调区间例1函数y＝x2－lnx的单调递减区间为________．破题切入点求出函数的导函数f′(x)，根据定义解不等式f′(x)<0即可，求解时注意函数的定义域．答案(0,1]解析由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y′＝x－≤0，解得00，得f′(x)>0；当－20，得f′(x)<0；当x>2时，y＝(1－x)f′(x)<0，得f′(x)>0，∴f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,1)上是减函数，在(1,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)．总结提高(1)利用导数判断函数单调性的一般步骤：①确定函数的定义域．②求导函数f′(x)．③若求单调区间或证明单调性，只需在函数f(x)的定义域内解或证明不等式f′(x)>0或f′(x)<0；若已知函数f(x)的单调性则转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解，一般是利用函数与方程思想，将字母分离出来．(2)利用导数解决函数单调性应注意的问题：①单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，首先要求函数的定义域，因为函数求导之后，自变量的取值范围可能会发生变化．②求可导函数的单调区间即为解不等式，若已知函数单调性求参数范围，转化为恒成立问题，注意验证所得参数范围的端点值．1．若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是________．答案[－2，＋∞)解析由条件得h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈[－2，＋∞)．2．已知函数f(x)＝x2＋mx＋lnx是单调递增函数，则m的取值范围是________．答案[－2，＋∞)解析依题意知，x>0，f′(x)＝，令g(x)＝2x2＋mx＋1，x∈(0，＋∞)，当－≤0时，g(0)＝1>0恒成立，∴m≥0成立，当－>0时，则Δ＝m2－8≤0，∴－2≤m<0，综上，m的取值范围是m≥－2.3．若函数y＝f(x)在R上可导，且满足不等式xf′(x)>－f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是________．①af(b)>bf(a);②af(a)>bf(b)；③af(a)－f(x)，得xf′(x)＋f(x)>0，即F′(x)>0，所以F(x)在R上为递增函数．因为a>b，所以af(a)>bf(b)．4．(2014·课标全国Ⅱ改编)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是________．答案[1，＋∞)解析由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增⇔f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k≥，而0<<1，所以k≥1.即k的取值范围为[1，＋∞)．5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是________________．答案(－∞，－2)∪(0,2)解析x>0时′<0，∴φ(x)＝为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当00，此时x2f(x)>0.又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数．故x2f(x)>0的解集为(0,2)∪(－∞，－2)．6．函数f(x)的定义域为(0，)，f′(x)是它的导函数，且f(x)
