第16练函数的极值与最值题型一函数极值与极值点的判断、求解问题例1函数y＝2x－的极大值是________．破题切入点根据函数极值的求解步骤，先求导函数，判断单调性，最后求出极值．答案－3解析y′＝2＋，令y′＝0，得x＝－1.当x<－1时，y′>0；当x>－1时，y′<0.∴当x＝－1时，y取极大值－3.题型二根据函数的极值来研究函数图象问题例2已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________.破题切入点结合函数的极值点，作出函数大致图象来解决．答案－2或2解析 y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1.则当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)y′＋－＋yc＋2c－2∴当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或c＝2.题型三函数的极值问题例3已知函数f(x)＝(m，n∈R)在x＝1处取得极值2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝lnx＋，若对任意的x1∈R，总存在x2∈[1，e]，使得g(x2)≤f(x1)＋，求实数a的取值范围．破题切入点(1)对函数进行求导，结合题中条件列出方程组，解出参数的值(需验证)，即可得到函数的解析式．(2)利用导数讨论函数g(x)的最小值，通过求解不等式得出实数a的取值范围．解(1)f′(x)＝＝，由于f(x)在x＝1处取得极值2，故f′(1)＝0，f(1)＝2，即解得m＝4，n＝1，经检验，此时f(x)在x＝1处取得极值．故f(x)＝.(2)由(1)知f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－f(x)．故f(x)为奇函数，f(0)＝0.当x>0时，f(x)>0，f(x)＝≤2，当且仅当x＝1时取“＝”．当x<0时，f(x)<0，f(x)＝≥－2，当且仅当x＝－1时取“＝”．故f(x)的值域为[－2,2]，从而f(x1)＋≥.依题意有g(x)min≤，x∈[1，e]，g′(x)＝－＝，①当a≤1时，g′(x)≥0，函数g(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为g(1)＝a≤1<，符合题意；②当1
，不符合题意．综合所述，a的取值范围为(－∞，]．题型四函数的最值问题例4已知函数f(x)＝x2＋lnx.(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值、最小值；(2)求证：在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．破题切入点(1)f(x)在闭区间[1，e]上的最大值、最小值要么在端点处取得，要么在极值点处取得．所以首先要研究f(x)在[1，e]上的单调性．(2)f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方，即g(x)－f(x)在(1，＋∞)上恒大于0.(1)解当x∈[1，e]时，f′(x)＝x＋>0，所以f(x)在区间[1，e]上为增函数．所以当x＝1时，f(x)取得最小值；当x＝e时，f(x)取得最大值e2＋1.(2)证明设h(x)＝g(x)－f(x)＝x3－x2－lnx，x∈(1，＋∞)，则h′(x)＝2x2－x－＝＝.当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以h(x)>h(1)＝>0.所以对于x∈(1，＋∞)，g(x)>f(x)成立，即f(x)的图象在g(x)的图象的下方．总结提高(1)准确把握函数极值与最值的概念，极值是函数的局部性质，在所给的区间上极大值和极小值不一定唯一，且极大值不一定大于极小值，而最值是函数的整体性质，在所给的区间上最大值一定大于最小值，且最大值和最小值都是唯一的．(2)函数在x0处取得极值，有f′(x0)＝0，而f′(x0)＝0不一定有f(x)在x0处取得极值．(3)两者之间的联系，求最值时先要求出极值然后和区间端点函数值相比较而得出最大值和最小值．1．(2014·课标全国Ⅱ改编)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则p是q的________条件．答案必要不充分解析当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．2．(2013·辽宁改编)设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x＞0时，f(x)极值情况为________．答案无极大值也无极小值解析由x2f′(x)＋2xf(x)＝，得f′(x)＝，令g(x)＝ex...
