第17练导数的综合应用题型一利用导数研究函数图象例1下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)＝________.破题切入点先求出函数f(x)的导函数，确定导函数图象，从而求出a的值．然后代入－1求得函数值．答案或－解析 f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，则②④排除．若图象不过原点，则f′(x)的图象为①，此时a＝0，f(－1)＝；若图象过原点，则f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0，又对称轴x＝－a>0，∴a＝－1，∴f(－1)＝－.题型二利用导数研究函数的零点或方程的根例2设函数f(x)＝x3－ax2－ax，g(x)＝2x2＋4x＋c.(1)试判断函数f(x)的零点个数；(2)若a＝－1，当x∈[－3,4]时，函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，求c的取值范围．破题切入点(1)对f(x)求导找出极值点、对a讨论看图象与x轴交点的个数．(2)结合两个函数的图象求解．解(1)f(x)＝x3－ax2－ax＝x(x2－ax－a)，令f(x)＝0，得x＝0或x2－ax－a＝0.(*)显然方程(*)的根的判别式Δ＝(－a)2－4××(－a)＝a2＋a＝a(a＋)．当a<－或a>0时，Δ>0，方程(*)有两个非零实根，此时函数f(x)有3个零点；当a＝－时，Δ＝0，方程(*)有两个相等的非零实根，此时函数f(x)有2个零点；当a＝0时，Δ＝0，方程(*)有两个相等的零实根，此时函数f(x)有1个零点；当－
0时，函数f(x)有3个零点；当a＝－时，函数f(x)有2个零点；当－3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.破题切入点考查圆柱及球的表面积与体积求法，函数关系式的建立及实际问题中定义域的求解，通过求导判断函数的单调性，从而确定函数的最值等问题．解(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋πr3，又V＝，故l＝＝－r＝(－r)．由于l≥2r，因此03，所以c－2>0.当r3－＝0时，r＝.令＝m，则m>0，所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．①当0时，当r＝m时，y′＝0；当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2)时，y′>0，所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2，即3时，建造费用最小时r＝.总结提高(1)利用导数研究函数图象或方程的根、零点等问题，一般都是先求导得出函数的单调性与极值，然后再画出函数的大致图象．(2)利用导数解决实际问题要注意：①函数的定义域；②极值和最值的区别；③最后还原到实际问题中作答．1．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是________．答案②③解析f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a
