第19练三角函数化简与求值策略题型一利用同角三角函数基本关系式化简与求值例1已知tanα＝2，求：(1)的值；(2)3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α的值．破题切入点本题是关于正、余弦的齐次式，一般是同时除以余弦的相应次数，构造出关于该角的正切关系式，然后将正切值代入求解．解(1)方法一 tanα＝2，∴cosα≠0，∴＝＝＝＝.方法二由tanα＝2，得sinα＝2cosα，代入得＝＝＝.(2)3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α＝＝＝＝.题型二利用诱导公式化简与求值例2(1)化简：；(2)求值：sin690°·sin150°＋cos930°·cos(－570°)＋tan120°·tan1050°.破题切入点(1)利用诱导公式化成只含有角α的三角函数值，然后利用同角三角函数基本关系式求解．(2)利用诱导公式将各值化成锐角的三角函数值代入计算．解(1)方法一原式＝＝＝＝＝－·＝－1.方法二原式＝＝＝＝－1.(2)原式＝sin(720°－30°)·sin(180°－30°)＋cos(1080°－150°)·cos(720°－150°)＋tan(180°－60°)·tan(1080°－30°)＝－sin30°sin30°＋cos150°cos150°＋tan60°tan30°＝－＋＋1＝.题型三利用其他公式、代换等化简求值例3(1)已知α是锐角，且＝，求角α的值；(2)求值：tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°.破题切入点(1)利用平方差公式将分子展开，然后再利用二倍角公式将等号左边化成关于角α的某个三角函数，进而求出．(2)逆用两角和的正切公式．解(1) ＝＝＝＝＝＝＝tanα，∴由已知可得tanα＝.又 α是锐角，∴α＝.(2)tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)＋tan20°tan40°＝tan60°－tan20°tan40°＋tan20°tan40°＝.总结提高(1)三角函数的化简是指综合利用诱导公式、同角基本关系式、两角和与差的三角函数公式及二倍角公式，将较复杂的三角函数式进行化简，三角函数的求值问题要始终围绕“角”做文章．特殊角的相互转换，角的分解，角的合并等都在求值的过程中起着重要作用．(2)在运用同角三角函数关系及诱导公式时，要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，在进行开方时要根据角的象限或范围判断符号．(3)三角化简与求值是三角函数的基础，常用的方法有：①弦切互化：主要利用公式tanx＝进行弦切间的互化．②和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．③巧用1或其他数值的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan等．注意求值与化简后的结果要尽可能有理化，整式化．1．若sin(π＋α)＝－，则cosα＝________.答案±解析由sin(π＋α)＝－，得－sinα＝－，即sinα＝，∴cosα＝±＝±.2．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为________．答案－3解析tanα＋tanβ＝3，tanα×tanβ＝2，所以tan(α＋β)＝＝－3.3．sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为________．答案解析sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)[－cos(70°＋x)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin(65°－x＋x－20°)＝sin45°＝.4．的值是________．答案解析原式＝＝＝＝sin30°＝.5．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos＝________.答案解析 cos＝，0<α<，∴sin＝.又 cos＝，－<β<0，∴sin＝，∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.6．(2014·课标全国Ⅰ改编)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tanα＝，则2α－β＝________.答案解析由tanα＝得＝，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sin(α－β)＝cosα＝sin(－α)． α∈(0，)，β∈(0，)，∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)，∴由sin(α－β)＝sin(－α)，得α－β＝－α，∴2α－β＝.7．已知tanα＝2，则的值为________．答案解析＝＝＝tanα＋＝.8.·的值为________．答案1解析原式＝·＝·＝1.9．已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，则tanθ＝________.答案－解析方法一因为sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝，所以sinθcosθ＝－.由根与系数的关系，知sinθ，cosθ是方程x2－x－＝0的两根，所以x1＝...
