第20练三角函数的图象与性质题型一三角函数的图象例1(2013·四川改编)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．破题切入点考查“五点作图法”的逆用，由图象求解析式，先看周期，再看什么时候取得最值以及函数零点等．答案2，－解析T＝－，T＝π，∴ω＝2，∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z.又φ∈，∴φ＝－.题型二三角函数的简单性质例2(2013·山东)设函数f(x)＝－sin2ωx－sinωx·cosωx(ω>0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．破题切入点(1)先根据倍角公式以及两角和与差的三角函数公式将f(x)的解析式化简为“一角一函数名”的形式，然后根据“y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为”确定该函数的周期，代入周期公式即可求出ω的值；(2)先根据(1)确定函数解析式，然后利用给定区间确定f(x)的区间，根据该函数在区间上的图象即可确定所求函数的最值．解(1)f(x)＝－sin2ωx－sinωxcosωx＝－×－sin2ωx＝cos2ωx－sin2ωx＝－sin.依题意知＝4×，ω>0，所以ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝－sin.当π≤x≤时，≤2x－≤.所以－≤sin≤1.所以－1≤f(x)≤.故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.题型三三角函数图象的变换例3已知函数f(x)＝sin(ωx＋)，其中ω>0，且函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于.若函数f(x)的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数，则最小正实数m＝________.破题切入点由相邻两对称轴间距离得出周期进而求出ω，再由平移后为偶函数得出m的最小值．答案解析依题意，可得＝，又T＝，故ω＝3，所以f(x)＝sin(3x＋)．函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)＝sin[3(x＋m)＋]．g(x)是偶函数当且仅当3m＋＝kπ＋(k∈Z)，即m＝＋(k∈Z)，从而最小正实数m＝.总结提高(1)利用三角函数图象确定解析式的基本步骤：①最值定A：即根据给定函数图象确定函数的最值即可确定A的值．②周期定ω：即根据给定函数图象的特征确定函数的周期，利用周期计算公式T＝求解ω.③最值点定φ：即根据函数图象上的最高点或最低点的坐标，代入函数解析式求解φ的取值，注意利用中心点求解φ时，要验证该点所在的单调区间以确定φ，否则会产生增解．(2)三角函数的简单性质主要包括：定义域、值域、对称性、奇偶性、周期性和单调性，对称性注意各三角函数的对称中心和对称轴，求解奇偶性时首先应利用诱导公式将函数化成最简再去研究，周期性的求解注意公式中应为|ω|而不是ω，单调性要将x的系数化成正的．本部分题目注意要将ωx＋φ当作一个整体．(3)对于三角函数图象变换问题，平移变换规则是“左加右减上加下减”并且在变换过程中只变换其中的自变量x，要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次把ωx＋φ写成ω(x＋)最后确定平移的单位和方向．伸缩变换时注意叙述为“变为原来的”这个字眼，变换的倍数要根据横向和纵向，要加以区分．1．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(0<φ<)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则函数解析式为________．答案y＝2sin(4x＋)＋2解析由题意得解得又函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最小正周期为，所以ω＝＝4，所以y＝2sin(4x＋φ)＋2.又直线x＝是函数图象的一条对称轴，所以4×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)，又 0<φ<，故φ＝.故得y＝2sin(4x＋)＋2.2．已知函数f(x)＝sin2ωx＋sinωx·cosωx，x∈R，又f(α)＝－，f(β)＝，若|α－β|的最小值为，则正数ω的值为________．答案解析f(x)＝＋sin2ωx＝sin2ωx－cos2ωx＋＝sin(2ωx－)＋，又由f(α)＝－，f(β)＝，且|α－β|的最小值为可知T＝3π，于是ω＝.3.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，|φ|<)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin3x的图象，则只要将f(x)的图象向________平移________个单位长度．(答案不唯一)答案右解析由题意，得函数f(x)的周期T＝4＝，ω＝3，所以sin＝－1，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin＝sin，所以...
