第22练平面向量中的线性问题题型一平面向量的线性运算例1如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF＝________.(用AB和AD表示)破题切入点顺次连结，选好基底．答案AB－AD解析在△CEF中，有EF＝EC＋CF.因为点E为DC的中点，所以EC＝DC.因为点F为BC的一个三等分点，所以CF＝CB.所以EF＝DC＋CB＝AB＋DA＝AB－AD.题型二平面向量基本定理及其应用例2如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用c，d表示AB，AD.破题切入点利用平面向量基本定理，用基底表示其余向量．解在△ADM中，AD＝AM－DM＝c－AB.①在△ABN中，AB＝AN－BN＝d－AD.②由①②得AB＝(2d－c)，AD＝(2c－d)．题型三平面向量的坐标运算例3平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d.破题切入点向量坐标表示下的线性运算．解(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以得(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－.(3)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)．由题意得得或∴d＝(3，－1)或(5,3)．总结提高(1)平面向量的性线运算主要包括加减运算和数乘运算，正确把握三角形法则和多边形法则，准确理解数与向量乘法的定义，这是解决向量共线问题的基础．(2)对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆，如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则．同时抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．1．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为________．答案(，－)解析由题意知AB＝(3，－4)，所以与AB同方向的单位向量为＝(，－)．2．(2014·课标全国Ⅰ改编)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则化简：EB＋FC＝________.答案AD解析如图，EB＋FC＝EC＋CB＋FB＋BC＝EC＋FB＝(AC＋AB)＝·2AD＝AD.3．(2014·北京)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.答案解析 λa＋b＝0，∴λa＝－b，∴|λa|＝|－b|＝|b|＝＝，∴|λ|·|a|＝.又|a|＝1，∴|λ|＝.4．(2014·福建改编)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则化简：OA＋OB＋OC＋OD＝________.答案4OM解析因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知OA＋OC＝2OM，OB＋OD＝2OM，故OA＋OC＋OB＋OD＝4OM.5.如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝2，|OB|＝，|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ和μ的值分别为________．答案2，解析设与OA，OB同方向的单位向量分别为a，b，依题意有OC＝4a＋2b，又OA＝2a，OB＝b，则OC＝2OA＋OB，所以λ＝2，μ＝.6．(2013·四川)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________.答案2解析由于ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴AB＋AD＝AC＝2AO，∴λ＝2.7．(2013·江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案解析如图，DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC，则λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝.8．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN(m，n>0)，则＋的最小值为________．答案解析MO＝AO－AM＝－AB＝AB＋AC.同理NO＝AC＋AB，M，O，N三点共线，故AB＋AC＝λ，即AB＋AC＝0，由于AB，AC不共线，根据平面向量基本定理得－－＝0且－＋＝0，消掉λ即得m＋n＝2，故＋＝(m＋n)＝≥(5＋4)＝.9．(2014·天津改编)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若AE·AF＝1，CE·CF＝－，则λ＋μ＝________.答案解析 AE＝AB＋λBC，AF＝AD＋μDC，...
