第24练基本量——破解等差、等比数列的法宝题型一等差、等比数列的基本运算例1已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5.(1)求数列{an}的通项公式；(2)对任意m∈N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.破题切入点(1)由已知列出关于首项和公差的方程组，解得a1和d，从而求出an.(2)求出bm，再根据其特征选用求和方法．解(1)设数列{an}的公差为d，前n项和为Tn，由T5＝105，a10＝2a5，得解得a1＝7，d＝7.因此an＝a1＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N*)．(2)对m∈N*，若an＝7n≤72m，则n≤72m－1.因此bm＝72m－1.所以数列{bm}是首项为7，公比为49的等比数列，故Sm＝＝＝＝.题型二等差、等比数列的性质及应用例2(1)已知正数组成的等差数列{an}，前20项和为100，则a7·a14的最大值是________．(2)(2014·济南模拟)在等差数列{an}中，a1＝－2013，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2013的值为________．破题切入点(1)根据等差数列的性质，a7＋a14＝a1＋a20，S20＝可求出a7＋a14，然后利用基本不等式．(2)等差数列{an}中，Sn是其前n项和，则也成等差数列．答案(1)25(2)－2013解析(1) S20＝×20＝100，∴a1＋a20＝10. a1＋a20＝a7＋a14，∴a7＋a14＝10. an>0，∴a7·a14≤2＝25.当且仅当a7＝a14时取等号．故a7·a14的最大值为25.(2)根据等差数列的性质，得数列也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项＝a1＝－2013，公差d＝1，故＝－2013＋(2013－1)×1＝－1，所以S2013＝－2013.题型三等差、等比数列的综合应用例3已知数列{an}的前n项和Sn满足条件2Sn＝3(an－1)，其中n∈N*.(1)证明：数列{an}为等比数列；(2)设数列{bn}满足bn＝log3an，若cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和．破题切入点(1)利用an＝Sn－Sn－1求出an与an－1之间的关系，进而用定义证明数列{an}为等比数列．(2)由(1)的结论得出数列{bn}的通项公式，求出cn的表达式，再利用错位相减法求和．(1)证明由题意得an＝Sn－Sn－1＝(an－an－1)(n≥2)，∴an＝3an－1，∴＝3(n≥2)，又S1＝(a1－1)＝a1，解得a1＝3，∴数列{an}是首项为3，公比为3的等比数列．(2)解由(1)得an＝3n，则bn＝log3an＝log33n＝n，∴cn＝anbn＝n·3n，设Tn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋(n－1)·3n－1＋n·3n，3Tn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.∴－2Tn＝31＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1，∴Tn＝.总结提高(1)关于等差、等比数列的基本量的运算，一般是已知数列类型，根据条件，设出a1，an，Sn，n，d(q)五个量的三个，知三求二，完全破解．(2)等差数列和等比数列有很多相似的性质，可以通过类比去发现、挖掘．(3)等差、等比数列的判断一般是利用定义，在证明等比数列时注意证明首项a1≠0，利用等比数列求和时注意公比q是否为1.1．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为________．答案110解析 a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，又 a7是a3与a9的等比中项，∴(a1－12)2＝(a1－4)·(a1－16)，解得a1＝20.∴S10＝10×20＋×10×9×(－2)＝110.2．(2014·课标全国Ⅱ改编)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝________.答案n(n＋1)解析由a2，a4，a8成等比数列，得a＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2.∴Sn＝2n＋×2＝2n＋n2－n＝n(n＋1)．3．等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S4＝S5＋S6，则数列{an}的公比q的值为________．答案－2解析由2S4＝S5＋S6，得2(1－q4)＝1－q5＋1－q6，化简得q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)，q＝－2.4．(2014·大纲全国改编)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和为________．答案4解析数列{lgan}的前8项和S8＝lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4.5．(2014·大纲全国改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝________.答案63解析在等比数列{an}中，S2、S4－S2、S6－S4也成等比数列，故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，则(15－3)2＝3(S6－15)，解得S6＝63.6．已知两个等差数列{a...
