第25练常考的递推公式问题的破解方略题型一由相邻两项关系式求通项公式例1已知正项数列{an}满足a1＝1，(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，则它的通项公式为________．破题切入点对条件因式分解．答案an＝解析由(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，得[(n＋2)an＋1－(n＋1)an](an＋1＋an)＝0，又an>0，所以(n＋2)an＋1＝(n＋1)an，即＝，an＋1＝an，所以an＝··…·a1＝a1(n≥2)，所以an＝(n＝1适合)，于是所求通项公式为an＝.题型二已知多项间的递推关系求通项公式例2已知数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an，则数列{an}的通项公式为________．破题切入点求证{－}为等差数列，再利用累加法求得，便可求得an.答案an＝解析 anan－1＝an－1－an，∴－＝1.∴＝＋＋＋…＋＝2＋1＋1＋…＋1＝n＋1.∴＝n＋1，∴an＝.题型三构造法求通项公式例3(1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，求an；(2)已知a1＝1，an＋1＝，求an.破题切入点观察条件，联想学过的数列来构造．解(1)由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＋1＝2≠0，于是可知{an＋1}为以2为首项2为公比的等比数列．即an＋1＝2n，∴an＝2n－1，∴所求通项公式为an＝2n－1.(2)由an＋1＝得－＝1(常数)，又＝1，∴{}为1为首项，1为公差的等差数列，∴＝n，从而an＝，即所求通项公式为an＝.总结提高求数列通项公式常见的方法：(1)观察法：利用递推关系写出前n项，根据前n项的特点观察，归纳猜想出an的表达式，然后用数学归纳法证明．(2)利用前n项和与通项的关系an＝(3)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(4)在已知数列{an}中，满足＝f(n)且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项an.(5)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．1．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是________．答案解析由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴a3·a2＝a2＋(－1)3，∴a3＝，∴a4＝＋(－1)4，∴a4＝3，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝，∴＝×＝.2．学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%改选A种菜．用an，bn分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的人数，如果a1＝300，则a10＝________.答案300解析依题意，得消去bn，得an＋1＝an＋150.由a1＝300，得a2＝300；由a2＝300，得a3＝300；……从而得a10＝300.3．已知f(x)＝log2＋1，an＝f()＋f()＋…＋f()，n为正整数，则a2015＝________.答案2014解析因为f(x)＝log2＋1，所以f(x)＋f(1－x)＝log2＋1＋log2＋1＝2.所以f()＋f()＝2，f()＋f()＝2，…，f()＋f()＝2，由倒序相加，得2an＝2(n－1)，an＝n－1，所以a2015＝2015－1＝2014.4．在正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项公式为________．答案an＝5n－3×2n－1解析在递推公式an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1，得＝×＋，①令＝bn，则①式变为bn＋1＝bn＋，即bn＋1－1＝(bn－1)，所以数列{bn－1}是等比数列，其首项为b1－1＝－1＝－，公比为.所以bn－1＝(－)×()n－1，即bn＝1－×()n－1＝，故an＝5n－3×2n－1.5．数列{an}的前n项和Sn满足2SnSn－1＝an(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则数列{an}的通项公式为________．答案an＝解析当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，则2SnSn－1＝Sn－Sn－1，即－＝－2，又＝＝1，故{}是首项为1，公差为－2的等差数列，则＝1＋(n－1)(－2)＝－2n＋3，所以Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，验证a1＝1不满足，故所求通项公式an＝6．设函数f(x)＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn－1，f(0)＝，数列{an}满足f(1)＝n2an(n∈N*)，则数列{an}的通项an＝________.答案解析由f(0)＝，得a1＝，由f(1)＝n2an(n∈N*)，得Sn＝a1＋a2＋…＋an＝n2an.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，整理得＝，所以an＝a1×××…×＝××××…×＝，显然a1＝也符合．即{an}的通项为an＝.7．若f(n)为n2＋1(n∈N*)的各位数字之和，如62＋1＝37，f(6)＝3＋7＝10，f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，…...
