第37练圆锥曲线中的探索性问题题型一定值、定点问题例1已知椭圆C：＋＝1经过点(0，)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M，且MA＝λAF，MB＝μBF，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由．破题切入点(1)待定系数法．(2)通过直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y后可得点A，B的横坐标的关系式，然后根据向量关系式MA＝λAF，MB＝μBF.把λ，μ用点A，B的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值，否则就不是定值．解(1)依题意得b＝，e＝＝，a2＝b2＋c2，∴a＝2，c＝1，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)因直线l与y轴相交于点M，故斜率存在，又F坐标为(1,0)，设直线l方程为y＝k(x－1)，求得l与y轴交于M(0，－k)，设l交椭圆A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，又由MA＝λAF，∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1)，∴λ＝，同理μ＝，∴λ＋μ＝＋＝＝＝－.所以当直线l的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－.题型二定直线问题例2在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A，B两点．(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；(2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．破题切入点假设符合条件的直线存在，求出弦长，利用变量的系数恒为零求解．解方法一(1)依题意，点N的坐标为N(0，－p)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋p，与x2＝2py联立得消去y得x2－2pkx－2p2＝0.由根与系数的关系得x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p2.于是S△ABN＝S△BCN＋S△ACN＝·2p|x1－x2|＝p|x1－x2|＝p＝p＝2p2，∴当k＝0时，(S△ABN)min＝2p2.(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a，AC的中点为O′，l与以AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，则O′H⊥PQ，Q′点的坐标为(，)． O′P＝AC＝＝，O′H＝＝|2a－y1－p|，∴PH2＝O′P2－O′H2＝(y＋p2)－(2a－y1－p)2＝(a－)y1＋a(p－a)，∴PQ2＝(2PH)2＝4[(a－)y1＋a(p－a)]．令a－＝0，得a＝，此时PQ＝p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y＝，即抛物线的通径所在的直线．方法二(1)前同方法一，再由弦长公式得AB＝|x1－x2|＝·＝·＝2p·，又由点到直线的距离公式得d＝.从而S△ABN＝·d·AB＝·2p··＝2p2.∴当k＝0时，(S△ABN)min＝2p2.(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a，则以AC为直径的圆的方程为(x－0)(x－x1)－(y－p)(y－y1)＝0，将直线方程y＝a代入得x2－x1x＋(a－p)(a－y1)＝0，则Δ＝x－4(a－p)(a－y1)＝4[(a－)y1＋a(p－a)]．设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则有PQ＝|x3－x4|＝＝2.令a－＝0，得a＝，此时PQ＝p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y＝，即抛物线的通径所在的直线．题型三定圆问题例3已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12，圆Ck：x2＋y2＋2kx－4y－21＝0(k∈R)的圆心为点Ak.(1)求椭圆G的方程；(2)求△AkF1F2的面积；(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G？请说明理由．破题切入点(1)根据定义，待定系数法求方程．(2)直接求．(3)关键看长轴两端点．解(1)设椭圆G的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c，则解得所以b2＝a2－c2＝36－27＝9.所以所求椭圆G的方程为＋＝1.(2)点Ak的坐标为(－k,2)，S△AkF1F2＝×|F1F2|×2＝×6×2＝6.(3)若k≥0，由62＋02＋12k－0－21＝15＋12k>0，可知点(6,0)在圆Ck外；若k<0，由(－6)2＋02－12k－0－21＝15－12k>0，可知点(－6,0)在圆Ck外．所以不论k为何值，圆Ck都不能包围椭圆G.即不存在圆Ck包围椭圆G.总结提高(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0...
