第38练“排列、组合”的常考问题题型一排列问题例1即将毕业的6名同学排成一排照相留念，个子较高的明明同学既不能站最左边，也不能站最右边，则不同的站法种数为________．破题切入点最左边和最右边是特殊位置，可采用位置分析法；由于明明同学是特殊元素，也可以采用元素分析法，也可以从反面考虑．答案480解析方法一(位置分析法)先从其他5人中安排2人分别站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除明明外的5人中选2人分别站在最左边和最右边，有A种站法；第2步，余下4人(含明明)站在剩下的4个位置上，有A种站法．由分步乘法计数原理，知共有AA＝480(种)不同的站法．方法二(元素分析法)先安排明明的位置，再安排其他5人的位置，分为两步：第1步，将明明排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A种站法；第2步，余下5人站在剩下5个位置上，有A种站法．由分步乘法计数原理，知共有AA＝480(种)不同的站法．方法三(反面求解法)6人没有限制的排队有A种站法，明明站在最左边或最右边时6人排队有2A种站法，因此符合条件的不同站法共有A－2A＝480(种)．题型二组合问题例2在一次国际抗震救灾中，从7名中方搜救队队员，4名外籍搜救队队员中选5名组成一支特殊搜救队到某地执行任务，按下列要求，分别计算有多少种组队方法．(1)至少有2名外籍搜救队队员；(2)至多有3名外籍搜救队队员．破题切入点第(1)问中“至少有2名”应包括2名、3名、4名，可以用直接法或间接法求解．第(2)问中，“至多有3名”应包括3名、2名、1名和没有，四种情况，应分类讨论．可用间接法．解(1)方法一(直接法)由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”可分为3类：①只有2名外籍队员，共有C·C种组队方法；②只有3名外籍队员，共有C·C种组队方法；③只有4名外籍队员，共有C·C种组队方法．根据分类加法计数原理，知至少有2名外籍搜救队队员共有C·C＋C·C＋C·C＝301(种)不同的组队方法．方法二(间接法)由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”的对立事件为“至多有1名外籍搜救队队员”，可分为2类：①只有1名外籍搜救队队员，共有CC种组队方法；②没有外籍搜救队队员，共有CC种组队方法．所以至少有2名外籍搜救队队员共有C－C·C－C·C＝301(种)不同的组队方法．(2)方法一(直接法)由题意，知“至多有3名外籍搜救队队员”可分为4类：①只有3名外籍搜救队队员，共有CC种方法；②只有2名外籍搜救队队员，共有CC种方法；③只有1名外籍搜救队队员，共有CC种方法；④没有外籍搜救队队员，共有C种方法．由分类加法计数原理，知至多有3名外籍搜救队队员共有C·C＋C·C＋C·C＋C＝455(种)不同的组队方法．方法二(间接法)由题意，知“至多有3名外籍搜救队队员”的对立事件为“至少有4名外籍搜救队队员”．因为至少有4名外籍搜救队队员，共有C×C种组队方法，所以至少3名外籍队员共有C－CC＝455(种)不同组队方法．题型三排列与组合的综合应用问题例34个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？破题切入点把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空盒子．解(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有CCC·A＝144(种)．(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．(3)确定2个空盒有C种方法．4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有·A种方法．故共有C(CCA＋·A)＝84(种)．总结提高(1)求解排列、组合问题，应按元素的性质或题意要求进行分类，对事件发生的过程进行分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，才能保证不“重”不“漏”．(2)关于“...
