第42练归纳与类比推理题型一利用归纳推理求解相关问题例1如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴…，则第2014个图形用的火柴根数为________．破题切入点观察图形的规律，写成代数式归纳可得．答案3021×2015解析由题意，第1个图形需要火柴的根数为3×1；第2个图形需要火柴的根数为3×(1＋2)；第3个图形需要火柴的根数为3×(1＋2＋3)；……由此，可以推出，第n个图形需要火柴的根数为3×(1＋2＋3＋…＋n)．所以第2014个图形所需火柴的根数为3×(1＋2＋3＋…＋2014)＝3×＝3021×2015.题型二利用类比推理求解相关问题例2如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c2＝a2＋b2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，截面面积为S，类比平面中的结论有________．破题切入点由平面图形中各元素到空间几何体中各元素的类比．答案S2＝S＋S＋S解析建立从平面图形到空间图形的类比，在由平面几何的性质类比推理空间立体几何的性质时，注意平面几何中点的性质可类比推理空间几何中线的性质，平面几何中线的性质可类比推理空间几何中面的性质，平面几何中面的性质可类比推理空间几何中体的性质．所以三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S2＝S＋S＋S.总结提高(1)归纳推理的三个特点①归纳推理的前提是几个已知的特殊对象，归纳所得到的结论是未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围；②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否准确，还需要经过逻辑推理和实践检验，因此归纳推理不能作为数学证明的工具；③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助发现问题和提出问题．(2)类比推理的一般步骤①定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；②推测，即用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；③检验，即检验猜想的正确性，要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力．1．已知x>0，观察不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，由此可得一般结论：x＋≥n＋1(n∈N*)，则a的值为________．答案nn解析根据已知，续写一个不等式：x＋＝＋＋＋≥4＝4，由此可得a＝nn.2．在平面内点O是直线AB外一点，点C在直线AB上，若OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ＝1；类似地，如果点O是空间内任一点，点A，B，C，D中任意三点均不共线，并且这四点在同一平面内，若DO＝xOA＋yOB＋zOC，则x＋y＋z＝________.答案－1解析在平面内，由三角形法则，得AB＝OB－OA，BC＝OC－OB.因为A，B，C三点共线，所以存在实数t，使AB＝tBC，即OB－OA＝t(OC－OB)，所以OC＝－OA＋(＋1)OB.因为OC＝λOA＋μOB，所以λ＝－，μ＝＋1，所以λ＋μ＝1.类似地，在空间内可得OD＝λOA＋μOB＋ηOC，λ＋μ＋η＝1.因为DO＝－OD，所以x＋y＋z＝－1.3．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125，…，则52014的末四位数字为________．答案5625解析由观察易知55的末四位数字为3125,56的末四位数字为5625,57的末四位数字为8125,58的末四位数字为0625,59的末四位数字为3125，故周期T＝4.又由于2014＝503×4＋2，因此52014的末四位数字是5625.4．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝________.答案123解析记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11；f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123，即a10＋b10＝123.5．已知正三角形内切圆的半径是其高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________．答案正四面体的内切球的半径是其高的解析设正四面体的每个面的面积是S，高是h，内切球半径为R，由体积分割可得：SR×4＝Sh，所以R＝h.6．观察...
