第43练几何证明选讲题型一相似三角形及射影定理例1如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，求AC∶BC的值．破题切入点含斜边上的高的直角三角形是相似三角形中的基本图形，本题中出现多对相似三角形，这为解决问题提供了许多可以利用的有效信息．另外，直角三角形的射影定理是相似三角形的性质在直角三角形中的一个经典应用，在类似问题中应用射影定理十分简捷．解方法一因为∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，所以由射影定理，得AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB
所以()2＝＝
又AD∶BD＝9∶4，所以AC∶BC＝3∶2
方法二因为AD∶BD＝9∶4，所以可设AD＝9k，BD＝4k，k∈(0，＋∞)．又∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，由射影定理，得CD2＝AD·BD，所以CD＝6k
由勾股定理，得AC＝3和BC＝2，所以AC∶BC＝3∶2
题型二相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用例2如图所示，AB为⊙O的直径，P为BA的延长线上一点，PC切⊙O于点C，CD⊥AB，垂足为D，且PA＝4，PC＝8，求tan∠ACD和sinP
破题切入点(1)求非特殊角的函数值的关键是将这些角归结到直角三角形中，利用直角三角形的边之比表示出角的三角函数值，然后根据已知条件将这些比值转化为已知线段的比值．(2)线段成比例的证明，一般利用三角形相似进行转化，在圆中的相关问题，应注意灵活利用圆中的切割线定理、相交弦定理等求解相关线段的长度或构造比例关系．解连结OC，BC
因为PC为⊙O的切线，所以PC2＝PA·PB
故82＝4·PB，所以PB＝16
所以AB＝16－4＝12
由条件，得∠PCA＝∠PBC，又∠P＝∠P，所以△PCA∽△PBC
因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝90°
又CD⊥AB，所以∠ACD＝∠B
所以tan∠ACD＝tanB＝＝
