第43练几何证明选讲题型一相似三角形及射影定理例1如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，求AC∶BC的值．破题切入点含斜边上的高的直角三角形是相似三角形中的基本图形，本题中出现多对相似三角形，这为解决问题提供了许多可以利用的有效信息．另外，直角三角形的射影定理是相似三角形的性质在直角三角形中的一个经典应用，在类似问题中应用射影定理十分简捷．解方法一因为∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，所以由射影定理，得AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.所以()2＝＝.又AD∶BD＝9∶4，所以AC∶BC＝3∶2.方法二因为AD∶BD＝9∶4，所以可设AD＝9k，BD＝4k，k∈(0，＋∞)．又∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，由射影定理，得CD2＝AD·BD，所以CD＝6k.由勾股定理，得AC＝3和BC＝2，所以AC∶BC＝3∶2.题型二相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用例2如图所示，AB为⊙O的直径，P为BA的延长线上一点，PC切⊙O于点C，CD⊥AB，垂足为D，且PA＝4，PC＝8，求tan∠ACD和sinP.破题切入点(1)求非特殊角的函数值的关键是将这些角归结到直角三角形中，利用直角三角形的边之比表示出角的三角函数值，然后根据已知条件将这些比值转化为已知线段的比值．(2)线段成比例的证明，一般利用三角形相似进行转化，在圆中的相关问题，应注意灵活利用圆中的切割线定理、相交弦定理等求解相关线段的长度或构造比例关系．解连结OC，BC.因为PC为⊙O的切线，所以PC2＝PA·PB.故82＝4·PB，所以PB＝16.所以AB＝16－4＝12.由条件，得∠PCA＝∠PBC，又∠P＝∠P，所以△PCA∽△PBC.所以＝.因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝90°.又CD⊥AB，所以∠ACD＝∠B.所以tan∠ACD＝tanB＝＝＝＝.因为PC为⊙O的切线，所以∠PCO＝90°.又⊙O直径为AB＝12，所以OC＝9，PO＝10.所以sinP＝＝＝.题型三四点共圆的判定例3如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.证明：(1)B、D、H、E四点共圆；(2)CE平分∠DEF.破题切入点(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边表的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．证明(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD、CE分别是∠BAC、∠DCF的平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.所以∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B、D、H、E四点共圆．(2)连结BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°.由(1)知B、D、H、E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°.所以CE平分∠DEF.总结提高(1)证明两角相等，关键是确定两角之间的关系，多利用中间量进行转化，可以通过证明三角形相似或全等，利用平行线的有关定理，如同位角相等、内错角相等等，也可利用特殊平面图形的性质，如利用等腰三角形的两个底角相等、圆中同弧或等弧所对的圆周角相等寻找中间量进行过渡．(2)证明或寻找圆内接图形中的角之间的关系，除了注意平面图形中的垂直、平行关系之外，还应注意弦切角、同弧所对角等性质的灵活运用．1.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F.求证：EF∶DF＝BC∶AC.证明 ∠BAC＝90°，且AD⊥BC，∴由射影定理得AC2＝CD·BC，∴＝.① EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD，∴＝.又BE平分∠ABC，且EA⊥AB，EF⊥BC，∴AE＝EF，∴＝.②由①、②得＝，即EF∶DF＝BC∶AC.2.(2014·陕西改编)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，求EF的值．解 ∠A＝∠A，∠AEF＝∠ACB，∴△AEF∽△ACB，∴＝，∴2＝，∴EF＝3.3．(2014·重庆改编)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，求AB的值．解由切割线定理得PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)，即62＝PB·(PB＋9)，解得PB＝3(负值舍去)．由弦切角定理知∠PAB＝∠PCA，又∠APB＝∠CPA，故△APB∽△CPA，则＝，即＝，解得AB＝4.4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB，且AD＝2...
