第46练不等式选讲题型一含绝对值不等式的解法例1(2013·辽宁)已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．破题切入点(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．解(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；当2＜x＜4时，f(x)≥4－|x－4|无解；当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4，解得x≥5；所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，则h(x)＝由|h(x)|≤2，解得≤x≤.又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，所以于是a＝3.题型二不等式的证明例2求证下列不等式：(1)设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2；(2)a6＋8b6＋c6≥2a2b2c2；(3)a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc.破题切入点(1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．(2)注意观察不等式的结构，利用基本不等式或柯西不等式证明．证明(1)3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)－2b2·(a－b)＝(a－b)(3a2－2b2)． a≥b>0，∴a－b≥0,3a2－2b2>0.∴(a－b)(3a2－2b2)≥0.∴3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.(2)a6＋8b6＋c6≥3＝3×a2b2c2＝2a2b2c2，∴a6＋8b6＋c6≥2a2b2c2.(3) a2＋4b2≥2＝4ab，a2＋9c2≥2＝6ac，4b2＋9c2≥2＝12bc，∴2a2＋8b2＋18c2≥4ab＋6ac＋12bc，∴a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc.题型三利用算术—几何平均不等式或柯西不等式证明或求最值例3(1)已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋(＋＋)2≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立；(2)已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．破题切入点利用算术—几何平均不等式或柯西不等式求最值时，首先要观察式子特点，构造出基本不等式或柯西不等式的结构形式，其次要注意取得最值的条件是否成立．解(1)方法一因为a，b，c均为正数，由算术—几何平均不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)，①＋＋≥3(abc)，所以(＋＋)2≥9(abc).②故a2＋b2＋c2＋(＋＋)2≥3(abc)＋9(abc).又3(abc)＋9(abc)≥2＝6，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)＝9(abc)时，③式等号成立．故当且仅当a＝b＝c＝3时，原不等式等号成立．方法二因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①同理＋＋≥＋＋，②故a2＋b2＋c2＋(＋＋)2≥ab＋bc＋ac＋＋＋≥6.③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．故当且仅当a＝b＝c＝3时，原不等式等号成立．(2)方法一利用算术—几何平均不等式(＋＋)2＝(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)＋2·＋2·＋2·≤(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)＋[(3a＋1)＋(3b＋1)]＋[(3b＋1)＋(3c＋1)]＋[(3a＋1)＋(3c＋1)]＝3[(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)]＝18，∴＋＋≤3，∴(＋＋)max＝3.方法二利用柯西不等式 (12＋12＋12)[()2＋()2＋()2]≥(1·＋1·＋1·)2∴(＋＋)2≤3[3(a＋b＋c)＋3]．又 a＋b＋c＝1，∴(＋＋)2≤18，∴＋＋≤3，当且仅当＝＝时，等号成立．∴(＋＋)max＝3.总结提高(1)对于带有绝对值的不等式的求解，要掌握好三个方法：一个是根据绝对值的几何意义，借助于数轴的直观解法；二是根据绝对值的意义，采用零点分区去绝对值后转化为不等式组的方法；三是构造函数，通过函数图象的方法．要在解题过程中根据不同的问题情境灵活选用这些方法．(2)使用绝对值三角不等式求最值很方便，如|x＋2|＋|x－4|≥|(x＋2)－(x－4)|＝6.(3)易错点：解绝对值不等式时忽视去掉绝对值的分界点；在使用算术一几何平均不等式、柯西不等式求最值时忽视讨论等号成立的条件．1．(2014·重庆改编)...
