课时跟踪检测（五十一）直线与圆锥曲线一保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·徐州第一中学检测)若双曲线－＝1与直线y＝kx－1有且仅有一个公共点，则这样的直线有______条．解析：把直线y＝kx－1代入双曲线－＝1中，消去y，得(4－9k2)x2＋18kx－45＝0，当4－9k2＝0，即k＝±时，直线与双曲线相交，有一个交点；当4－9k2≠0，即k≠±时，令Δ＝0，得182k2＋4(4－9k2)×45＝0，解得k＝±，此时直线与双曲线相切，有一个交点．综上，k的值有4个，即这样的直线有4条．答案：42．已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为M，N，点P在C上，且直线PN的斜率是－，则直线PM的斜率为________．解析：设P(x0，y0)，则＋＝1，直线PM的斜率kPM＝，直线PN的斜率kPN＝，可得kPM·kPN＝＝－，故kPM＝－·＝3.答案：33．已知抛物线y2＝2px的焦点F与椭圆16x2＋25y2＝400的左焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且AK＝AF，则点A的横坐标为________．解析：16x2＋25y2＝400可化为＋＝1，则椭圆的左焦点为F(－3,0)，又抛物线y2＝2px的焦点为，准线为x＝－，所以＝－3，即p＝－6，即y2＝－12x，K(3,0)．设A(x，y)，则由AK＝AF得(x－3)2＋y2＝2[(x＋3)2＋y2]，即x2＋18x＋9＋y2＝0，又y2＝－12x，所以x2＋6x＋9＝0，解得x＝－3.答案：－34．(2019·江都中学检测)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，若双曲线的离心率为2，O为坐标原点，△AOB的面积为，则p＝________.解析： 双曲线－＝1的渐近线方程是y＝±x，抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程是x＝－，∴A，B两点的纵坐标分别是y＝±， 双曲线的离心率为2，∴＝＝e2－1＝3，则＝，∴A，B两点的纵坐标分别是y＝±＝±，又△AOB的面积为，∴×p×＝，解得p＝.答案：5．已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是__________________．解析：设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．则＋＝1，且＋＝1，两式相减并化简得＝－.又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以＝－，故直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.答案：x＋2y－8＝06．(2018·海门中学检测)如图，过抛物线y＝x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2＋(y－1)2＝1交于A，B，C，D四点，则AB·DC＝________.解析：不妨设直线AB的方程为y＝1，联立解得x＝±2，则A(－2,1)，D(2,1)，因为B(－1,1)，C(1,1)，所以AB＝(1,0)，DC＝(－1,0)，所以AB·DC＝－1.答案：－17．(2019·宁海中学调研)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为________．解析：根据题意得，直线AB2的方程为：y＝x＋b，直线B1F的方程为：y＝x－b，联立两直线方程解得x＝.又由题意可得＝，化简得2c2＋ac－a2＝0，即2e2＋e－1＝0，又0＜e＜1，解得e＝.答案：8．已知直线l过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，直线l与抛物线C交于A，B两点，且AB＝12，若M为抛物线C的准线上一点，则△ABM的面积为________．解析：由题意知，抛物线C的焦点坐标为，对称轴为x轴，准线为x＝－.因为直线l与x轴垂直，所以AB＝2p＝12，p＝6，又点M在抛物线C的准线上，所以点M到直线AB的距离为6，所以△ABM的面积S＝×6×12＝36.答案：369．(2018·镇江期末)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交椭圆C于P，Q两点，线段PQ的中点为H，O为坐标原点，且OH＝1，求△POQ面积的最大值．解：(1)由已知得解得所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设l与x轴的交点为D(n,0)，直线l：x＝my＋n，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立消去x，整理得(4＋m2)y2＋2mny＋n2－4＝0，所以y1＋y2＝－，y1y2＝，故＝－，＝＝，即H，由OH＝1，得n2＝，则S△POQ＝OD|y1－y2|＝|n||y1－y2|.令T＝n2(y1－y2)2＝n2[(y1＋y2)2－4y1y2]＝，设t＝4＋m2(t≥4)，则＝＝≤＝，当且仅当t＝，即t＝12时，S△POQ＝1，所以△POQ面积的最大值为1.10.如图，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：＋y2＝1的左顶点A作直线l，与椭圆C和y轴正半轴分别交于点P，Q.(1)...
