大题考法专训（七）导数与函数的单调性、极值、最值A级——中档题保分练1．(2019·济南模拟)已知函数f(x)＝asinx＋bcosx(a，b∈R)，曲线y＝f(x)在点处的切线方程为y＝x－.(1)求a，b的值；(2)求函数g(x)＝在上的最小值．解：(1)由切线方程知，当x＝时，y＝0，∴f＝a＋b＝0. f′(x)＝acosx－bsinx，∴由切线方程知，f′＝a－b＝1.∴a＝，b＝－.(2)由(1)知，f(x)＝sinx－cosx＝sin.∴g(x)＝，g′(x)＝.设u(x)＝xcosx－sinx，则u′(x)＝－xsinx＜0，故u(x)在上单调递减．∴u(x)＜u(0)＝0，∴g(x)在上单调递减．∴g(x)在上的最小值为g＝.2．已知函数f(x)＝xex－a(a∈R)．(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，e)处的切线方程；(2)当a＞0时，求函数f(x)的单调区间．解：(1)当a＝0时，f′(x)＝(x＋1)ex，所以切线的斜率k＝f′(1)＝2e.又f(1)＝e，所以y＝f(x)在点(1，e)处的切线方程为y－e＝2e(x－1)，即2ex－y－e＝0.(2)f′(x)＝(x＋1)(ex－a)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝lna.①当a＝时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在R上单调递增．②当0＜a＜时，lna＜－1，由f′(x)＞0，得x＜lna或x＞－1；由f′(x)＜0，得lna＜x＜－1，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，lna)，(－1，＋∞)，单调递减区间为(lna，－1)．③当a＞时，lna＞－1，由f′(x)＞0，得x＜－1或x＞lna；由f′(x)＜0，得－1＜x＜lna，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(lna，＋∞)，单调递减区间为(－1，lna)．综上所述，当a＝时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当0＜a＜时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，lna)，(－1，＋∞)，单调递减区间为(lna，－1)；当a＞时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(lna，＋∞)，单调递减区间为(－1，lna)．3．已知函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋alnx＋1，a∈R.(1)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的极大值；(2)求a的取值范围，使得f(x)≥1恒成立．解：(1)f′(x)＝x－(a＋1)＋(x＞0)． x＝3是f(x)的极值点，∴f′(3)＝3－(a＋1)＋＝0，解得a＝3.当a＝3时，f′(x)＝＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化见下表：x(0,1)1(1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴f(x)的极大值为f(1)＝－.(2)要使f(x)≥1恒成立，即x＞0时，x2－(a＋1)x＋alnx≥0恒成立．设g(x)＝x2－(a＋1)x＋alnx，则g′(x)＝x－(a＋1)＋＝.①当a≤0时，由g′(x)＜0得g(x)的单调递减区间为(0,1)，由g′(x)＞0得g(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，∴g(x)min＝g(1)＝－a－≥0，解得a≤－.②当0＜a＜1时，由g′(x)＜0得g(x)的单调递减区间为(a,1)，由g′(x)＞0得g(x)的单调递增区间为(0，a)，(1，＋∞)，此时g(1)＝－a－＜0，不合题意．③当a＝1时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时g(1)＝－a－＜0，不合题意．④当a＞1时，由g′(x)＜0得g(x)的单调递减区间为(1，a)，由g′(x)＞0得g(x)的单调递增区间为(0,1)，(a，＋∞)，此时g(1)＝－a－＜0，不合题意．综上所述，若满足f(x)≥1恒成立，a的取值范围为.B级——拔高题满分练1．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求实数a的取值范围．解：(1)h(x)＝lnx－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝－ax－2.由h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，知当x∈(0，＋∞)时，－ax－2＜0有解，即a＞－有解．设G(x)＝－，则只要a＞G(x)min即可，而G(x)＝2－1，所以G(x)min＝－1，所以a＞－1，即实数a的取值范围为(－1，＋∞)．(2)由h(x)在[1,4]上单调递减，得当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥－恒成立．设G(x)＝－，则a≥G(x)max，而G(x)＝2－1.又x∈[1,4]，所以∈，所以G(x)max＝－(此时x＝4)，所以a≥－，即实数a的取值范围为.2．(2019·银川模拟)已知函数f(x)＝lnx－ax2＋(a－2)x.(1)若f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；(2)求函数y＝f(x)在[a2，a]上的最大值．解：(1) f(x)＝lnx－ax2＋(a－2)x，∴函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．∴f′(x)＝－2ax＋(a－2)＝. f(x)在x＝1处取得极值，即f′(1)＝－(2－1)(a＋1)＝0，∴a＝－1.当a＝－1时，在内f...
